Решите уравнение: \(\frac{x+2}{x-1} + \frac{x}{x+1} = \frac{6}{x^2-1}\). Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите больший из них.

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\).

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \(x-1 \neq 0\) и \(x+1 \neq 0\), следовательно, \(x \neq 1\) и \(x \neq -1\).
2. Приведем уравнение к общему знаменателю \((x-1)(x+1)\):
   \(\frac{(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{6}{(x-1)(x+1)}\)
   \(\frac{x^2 + x + 2x + 2 + x^2 - x}{(x-1)(x+1)} = \frac{6}{(x-1)(x+1)}\)
   \(\frac{2x^2 + 2x + 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{6}{(x-1)(x+1)}\)
3. Так как знаменатели одинаковы и отличны от нуля (согласно ОДЗ), приравняем числители:
   \(2x^2 + 2x + 2 = 6\)
4. Решим полученное квадратное уравнение:
   \(2x^2 + 2x + 2 - 6 = 0\)
   \(2x^2 + 2x - 4 = 0\)
   Разделим обе части на 2:
   \(x^2 + x - 2 = 0\)
5. Найдем корни уравнения, используя дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -1\) и \(x_1 x x_2 = -2\).
   Подбираем корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\).
6. Проверим корни по ОДЗ: \(x \neq 1\) и \(x \neq -1\). Корень \(x_1 = 1\) не подходит, так как он не входит в ОДЗ. Корень \(x_2 = -2\) подходит.
7. Уравнение имеет один корень \(x = -2\).

Ответ: -2