Решите уравнение: $\frac{x^2-x-6}{x+1}+\frac{x+1}{x^2-x-6}=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнение: $\frac{x^2-x-6}{x+1}+\frac{x+1}{x^2-x-6}=2$.$ Фото задания

Accepted Answer

Знаменатели не должны обращаться в ноль: $x\ne-1$, $x\ne3$, $x\ne-2$, поскольку $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.

Обозначим $A=x^2-x-6$. Тогда уравнение имеет вид $\frac{A}{x+1}+\frac{x+1}{A}=2$. Умножим на $A(x+1)$, который не равен нулю:

$A^2+(x+1)^2=2A(x+1)$, поэтому $(A-(x+1))^2=0$.

Следовательно, $x^2-x-6=x+1$, откуда $x^2-2x-7=0$.

По формуле корней: $x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2}=1\pm2\sqrt2$. Оба значения допустимы.

Ответ: $x=1-2\sqrt2$ или $x=1+2\sqrt2$.

Решите уравнение: \(\frac{x^2-x-6}{x+1}+\frac{x+1}{x^2-x-6}=2\).