Решите уравнение \( \frac{x-3}{x-5} + \frac{1}{x} = \frac{x+5}{x(x-5)} \)

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю: \( x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \) и \( x \neq 0 \).
2. Приведём все дроби к общему знаменателю \( x(x-5) \):

\( \frac{(x-3)x}{x(x-5)} + \frac{1(x-5)}{x(x-5)} = \frac{x+5}{x(x-5)} \)

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( x(x-5) \), чтобы избавиться от дробей:

\( (x-3)x + (x-5) = x+5 \)

4. Раскроем скобки:

\( x^2 - 3x + x - 5 = x + 5 \)

5. Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные:

\( x^2 - 3x + x - x - 5 - 5 = 0 \)
\( x^2 - 3x - 10 = 0 \)

6. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]

7. Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

8. Проверим корни на соответствие ОДЗ: \( x \neq 5 \) и \( x \neq 0 \).
9. Корень \( x_1 = 5 \) не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.
10. Корень \( x_2 = -2 \) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \( x = -2 \).