Решите уравнение: \(\frac{x}{x-1} - \frac{5}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}\)

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю \( (x-1)(x+1) = x^2-1 \). Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на \( x+1 \), а второй дроби — на \( x-1 \).

2. \( \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{x^2-1} \)

3. \( \frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{5x-5}{x^2-1} = \frac{2}{x^2-1} \)

4. Вычтем числители, оставив общий знаменатель:

5. \( \frac{(x^2+x) - (5x-5)}{x^2-1} = \frac{2}{x^2-1} \)

6. \( \frac{x^2 + x - 5x + 5}{x^2-1} = \frac{2}{x^2-1} \)

7. \( \frac{x^2 - 4x + 5}{x^2-1} = \frac{2}{x^2-1} \)

8. Так как знаменатели равны, приравняем числители:

9. \( x^2 - 4x + 5 = 2 \)

10. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

11. \( x^2 - 4x + 5 - 2 = 0 \)

12. \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

13. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

14. \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

15. Найдём корни уравнения:

16. \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

17. \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

18. Проверим, не равны ли корни знаменателю \( x^2-1 \). Знаменатель обращается в ноль при \( x=1 \) и \( x=-1 \).
19. Корень \( x_1 = 3 \) не равен \( 1 \) и \( -1 \), поэтому он является решением.
20. Корень \( x_2 = 1 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением уравнения.

Ответ: x = 3.