Решите уравнение: \(\frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0\).

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Сначала приведём его к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель \( x^2 - 25 \) на множители: \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \).
2. Общий знаменатель для дробей — \( (x-5)(x+5) \).
3. Приведём первую дробь к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( (x+5) \): \( \frac{x}{x-5} = \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x^2+5x}{(x-5)(x+5)} \).
4. Уравнение примет вид: \( \frac{x^2+5x}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0 \).
5. Сложим числители: \( x^2 + 5x + 3x + 15 = 0 \).
6. Упростим числитель: \( x^2 + 8x + 15 = 0 \).
7. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \).
8. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
9. Проверим, не обращают ли найденные корни знаменатель в ноль. Знаменатель равен нулю, если \( x = 5 \) или \( x = -5 \).
10. Корень \( x_1 = -3 \) не обращает знаменатель в ноль, поэтому является решением уравнения.
11. Корень \( x_2 = -5 \) обращает знаменатель в ноль ( \( (-5)^2 - 25 = 0 \) ), поэтому он является посторонним корнем и не является решением уравнения.

Ответ: x = -3.