20. Решите уравнение: $$\frac{2}{(x - 7)^2} - \frac{11}{x - 7} - 6 = 0$$

Решение:

1. Введем замену переменной: $$t = \frac{1}{x - 7}$$. Тогда уравнение примет вид:

$$2t^2 - 11t - 6 = 0$$

2. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169$$

$$t_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 13}{4} = \frac{24}{4} = 6$$

$$t_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{11 - 13}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

3. Вернемся к исходной переменной:

* Случай 1: $$t = 6$$, тогда $$\frac{1}{x - 7} = 6$$, значит $$x - 7 = \frac{1}{6}$$, отсюда $$x_1 = 7 + \frac{1}{6} = \frac{43}{6}$$.

* Случай 2: $$t = -\frac{1}{2}$$, тогда $$\frac{1}{x - 7} = -\frac{1}{2}$$, значит $$x - 7 = -2$$, отсюда $$x_2 = 7 - 2 = 5$$.

Ответ: $$x_1 = \frac{43}{6}$$, $$x_2 = 5$$.