Решите уравнение 1g(228) = 1g(2-9x). В ответ укажите его корень, если уравнение имеет более одного корня, в ответ укажите сумму его корней. Ответ запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Решение:

• Шаг 1: Приравниваем аргументы логарифмов:
  Если \( \lg(x^2 - 8) = \lg(2 - 9x) \), то \( x^2 - 8 = 2 - 9x \).
• Шаг 2: Переносим все члены в левую часть уравнения:
  \( x^2 + 9x - 10 = 0 \).
• Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:
  Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 9 \), \( c = -10 \).
  \( D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 \).
• Шаг 4: Находим корни уравнения:
  \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
  \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \).
• Шаг 5: Проверяем корни на соответствие условию существования логарифма:
  • Для \( x = 1 \): \( x^2 - 8 = 1 - 8 = -7 < 0 \) (не подходит, так как аргумент логарифма должен быть положительным).
  • Для \( x = -10 \): \( x^2 - 8 = (-10)^2 - 8 = 100 - 8 = 92 > 0 \) и \( 2 - 9x = 2 - 9 \cdot (-10) = 2 + 90 = 92 > 0 \) (подходит).
• Шаг 6: Так как подходит только один корень, то ответ: \( x = -10 \).