20. Решите уравнение х²+x+-\frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-1}+2.

Ответ: x = 1 и x = -1

Решение: \[x^2 + x + \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-1} + 2\] \[x^2 + x + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-1} - 2 = 0\] \[x^2 + x - 2 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Но нужно проверить ОДЗ. Так как в исходном уравнении есть знаменатель (x-1), то x ≠ 1. Значит, x=1 не является решением.

Ответ: x = -2