20. Решите уравнение (х²+x-20)(x²-7x+12)≤0.

Решение

Давай решим данное неравенство по шагам.

Сначала разложим оба квадратных трехчлена на множители:

1. Первый трехчлен: x² + x - 20

   Найдем корни уравнения x² + x - 20 = 0. Используем дискриминант:

   D = 1² - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81

   x₁ = (-1 + √81) / 2 = (-1 + 9) / 2 = 8 / 2 = 4

   x₂ = (-1 - √81) / 2 = (-1 - 9) / 2 = -10 / 2 = -5

   Таким образом, x² + x - 20 = (x - 4)(x + 5)

2. Второй трехчлен: x² - 7x + 12

   Найдем корни уравнения x² - 7x + 12 = 0. Используем дискриминант:

   D = (-7)² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

   x₁ = (7 + √1) / 2 = (7 + 1) / 2 = 8 / 2 = 4

   x₂ = (7 - √1) / 2 = (7 - 1) / 2 = 6 / 2 = 3

   Таким образом, x² - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)

Теперь наше неравенство можно переписать как:

((x - 4)(x + 5))((x - 4)(x - 3)) ≤ 0

Или:

(x - 4)²(x + 5)(x - 3) ≤ 0

Заметим, что (x - 4)² ≥ 0 всегда. Значит, чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы:

(x + 5)(x - 3) ≤ 0

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим точки -5 и 3 на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

     +      -      +
----(-5)----(3)----

Таким образом, (x + 5)(x - 3) ≤ 0 при -5 ≤ x ≤ 3.

Но нам также нужно учесть случай, когда (x - 4)² = 0, то есть x = 4. Подставим x = 4 в исходное неравенство: (4 - 4)²(4 + 5)(4 - 3) = 0 * 9 * 1 = 0, что удовлетворяет условию (x - 4)²(x + 5)(x - 3) ≤ 0.

Итак, решением является интервал -5 ≤ x ≤ 3 и точка x = 4.

Ответ: [-5; 3] ∪ {4}

Ты отлично справился с заданием! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя обязательно все получится!