Решите уравнение: х²-20х+√9-x=-84+√9-x.

Решение:

Уравнение: \( x^2 - 20x + \sqrt{9-x} = -84 + \sqrt{9-x} \).

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( x^2 - 20x + \sqrt{9-x} - \sqrt{9-x} + 84 = 0 \).
2. Сократим одинаковые члены с противоположными знаками: \( x^2 - 20x + 84 = 0 \).
3. Получили квадратное уравнение. Определим его коэффициенты: \( a=1 \), \( b=-20 \), \( c=84 \).
4. Вычислим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64 \).
5. Так как \( D > 0 \), у квадратного уравнения два корня.
6. Найдем корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
7. Первый корень: \( x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14 \).
8. Второй корень: \( x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
9. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию подкоренного выражения \( 9 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 9 \).
10. Для \( x_1 = 14 \): \( 9 - 14 = -5 \). Это значение не удовлетворяет условию \( 9 - x \ge 0 \), так как под корнем получается отрицательное число.
11. Для \( x_2 = 6 \): \( 9 - 6 = 3 \). Это значение удовлетворяет условию \( 9 - x \ge 0 \).

Ответ: x = 6.