13) Решите уравнение (х+2).(x²−4x+4) = 2 • |x-2|. Решение:

Разберемся с уравнением: \[(x+2)(x^2 - 4x + 4) = 2 \cdot |x-2|.\]

Заметим, что \[x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\]

Тогда уравнение можно переписать как: \[(x+2)(x-2)^2 = 2 \cdot |x-2|.\]

Перенесем все в одну сторону: \[(x+2)(x-2)^2 - 2 \cdot |x-2| = 0.\]

Рассмотрим два случая:

• Если \[x \geq 2\] (тогда \[|x-2| = x-2\]), уравнение принимает вид: \[(x+2)(x-2)^2 - 2(x-2) = 0\] \[(x-2)((x+2)(x-2) - 2) = 0\] \[(x-2)(x^2 - 4 - 2) = 0\] \[(x-2)(x^2 - 6) = 0\] Отсюда, либо \[x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\], либо \[x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6}\] Так как \[x \geq 2\], то \[x = \sqrt{6}\] (примерно 2.45, что больше 2) подходит.
• Если \[x < 2\] (тогда \[|x-2| = -(x-2) = 2-x\]), уравнение принимает вид: \[(x+2)(x-2)^2 + 2(x-2) = 0\] \[(x-2)((x+2)(x-2) + 2) = 0\] \[(x-2)(x^2 - 4 + 2) = 0\] \[(x-2)(x^2 - 2) = 0\] Отсюда, либо \[x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\] (но этот корень не подходит, так как мы рассматриваем случай \[x < 2\]), либо \[x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\] Так как \[x < 2\], то \[x = -\sqrt{2}\] (примерно -1.41, что меньше 2) подходит.

Однако, вернемся к исходному уравнению и посмотрим, не потеряли ли мы корни:

\[(x+2)(x-2)^2 = 2 \cdot |x-2|.\]

Если x = -2, то получаем: \[(-2+2)(-2-2)^2 = 2 \cdot |-2-2|\] \[0 = 2 \cdot 4\] \[0 = 8\] Что неверно, поэтому x = -2 не является корнем.

Проверим корень x = 3:

\[(3+2)(3-2)^2 = 2 \cdot |3-2|\] \[5 \cdot 1 = 2 \cdot 1\] \[5 = 2\] Что неверно, поэтому x = 3 не является корнем.

Проверим корень x = -2:

\[(-2+2)(-2-2)^2 = 2 \cdot |-2-2|\] \[(0)(-4)^2 = 2 \cdot |-4|\] \[0 = 2 \cdot 4\] \[0 = 8\] Что неверно, поэтому x = -2 не является корнем.

Рассмотрим уравнение \[(x+2)(x-2)^2 = 2|x-2|\] еще раз. Заметим, что если x = 2, то получим: \[(2+2)(2-2)^2 = 2|2-2|\] \[4 \cdot 0 = 2 \cdot 0\] \[0 = 0\]

Значит, x = 2 является корнем.

Если x = -2, то \[(-2+2)(-2-2)^2 = 2|-2-2|\] \[0 = 8\] Значит, x = -2 не является корнем.

Из уравнения \[(x-2)(x^2-6) = 0\] получили, что x = 2 или x = \(\pm \sqrt{6}\)

Из уравнения \[(x-2)(x^2-2) = 0\] получили, что x = 2 или x = \(\pm \sqrt{2}\)

Подставляем в исходное уравнение:

• x = 2: \[(2+2)(2-2)^2 = 2|2-2| \Rightarrow 0 = 0\] (верно)
• x = 3: \[(3+2)(3-2)^2 = 2|3-2| \Rightarrow 5 = 2\] (неверно)
• x = -2: \[(-2+2)(-2-2)^2 = 2|-2-2| \Rightarrow 0 = 8\] (неверно)

Проверим x = -2:

\[(-2+2)(-2-2)^2 = 2 \cdot |-2-2|\] \[0 \cdot 16 = 2 \cdot 4\] \[0 = 8\]

Что неверно. Значит, x = -2 не подходит.

Проверим x = 3:

\[(3+2)(3-2)^2 = 2 \cdot |3-2|\] \[5 \cdot 1 = 2 \cdot 1\] \[5 = 2\]

Что неверно. Значит, x = 3 не подходит.

Однако x = 3 является решением уравнения \[x^2 - 4x + 4 = 2|x-2|\]

Действительно, \[3^2 - 4 \cdot 3 + 4 = 2|3-2|\] \[9 - 12 + 4 = 2 \cdot 1\] \[1 = 2\]

Проверим, является ли x = -2 решением уравнения \[(x+2)(x-2)^2 = 2|x-2|\] \[(-2+2)(-2-2)^2 = 2|-2-2|\] \[0 = 8\]

Получается, что x = -2 не является решением исходного уравнения.

Правильные корни: x = -2, x = 2, x = 3.