579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x2 – 2x – 9 = 0; б) 3t2 – 4t – 4 = 0; B) 2z2 + 7z – 6 = 0; г) 2t² + 9t + 8 = 0.

a) Решим уравнение $$x^2-2x-9=0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1} = -9$$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$$

Проверим по теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 1 + 1 = 2$$

$$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10}) \cdot (1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9$$

Ответ: $$x_1 = 1 + \sqrt{10}$$, $$x_2 = 1 - \sqrt{10}$$

---

б) Решим уравнение $$3t^2-4t-4=0$$

По теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$$

$$t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

Проверим по теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = 2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

$$t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$$

Ответ: $$t_1 = 2$$, $$t_2 = -\frac{2}{3}$$

---

в) Решим уравнение $$2z^2+7z-6=0$$

По теореме Виета:

$$z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{2} = -3.5$$

$$z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{2} = -3$$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97$$

$$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$$

$$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$$

Проверим по теореме Виета:

$$z_1 + z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-7 + \sqrt{97} -7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$$

$$z_1 \cdot z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} \cdot \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{49 - 97}{16} = \frac{-48}{16} = -3$$

Ответ: $$z_1 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$$, $$z_2 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$$

---

г) Решим уравнение $$2t^2 + 9t + 8 = 0$$

По теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{9}{2} = -4.5$$

$$t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a} = \frac{8}{2} = 4$$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 - 64 = 17$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$$

Проверим по теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-9 + \sqrt{17} - 9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$

$$t_1 \cdot t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} \cdot \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{81 - 17}{16} = \frac{64}{16} = 4$$

Ответ: $$t_1 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$$, $$t_2 = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$$