579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме Виета: а) x² - 2x - 9 = 0; б) 3t² - 4t - 4 = 0;

Решим задание 579.

а) $$x^2 - 2x - 9 = 0$$

Здесь a = 1, b = -2, c = -9.

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$$

Проверка по теореме Виета:

• Сумма корней: $$x_1 + x_2 = 1 + \sqrt{10} + 1 - \sqrt{10} = 2$$, что соответствует $$-\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$$
• Произведение корней: $$(1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9$$, что соответствует $$\frac{c}{a} = \frac{-9}{1} = -9$$

б) $$3t^2 - 4t - 4 = 0$$

Здесь a = 3, b = -4, c = -4.

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня.

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

Проверка по теореме Виета:

• Сумма корней: $$t_1 + t_2 = 2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$, что соответствует $$-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$$
• Произведение корней: $$2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$$, что соответствует $$\frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$$

Ответ: а) $$1 + \sqrt{10}$$ и $$1 - \sqrt{10}$$; б) 2 и $$-2/3$$