Решите уравнение, используя разложение на множители: 1) (2x-9)(x+6) - x(x+6) = 0; 2) (3x+4)(x-10) + (10-x)(x-8) = 0; 3) 9(3x + 1)²-4(3x + 1) = 0; 4) (9x-12)x(9x-12) = 0.

Решение:

1. \((2x-9)(x+6) - x(x+6) = 0\)


• Вынесем общий множитель \( (x+6) \):
• \((x+6)((2x-9) - x) = 0\)
• \((x+6)(x-9) = 0\)
• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• \( x+6=0 \) или \( x-9=0 \)
• \( x = -6 \) или \( x = 9 \)
2. \((3x+4)(x-10) + (10-x)(x-8) = 0\)


• Заметим, что \( (10-x) = -(x-10) \).
• \((3x+4)(x-10) - (x-10)(x-8) = 0\)
• Вынесем общий множитель \( (x-10) \):
• \((x-10)((3x+4) - (x-8)) = 0\)
• \((x-10)(3x+4-x+8) = 0\)
• \((x-10)(2x+12) = 0\)
• \( x-10=0 \) или \( 2x+12=0 \)
• \( x = 10 \) или \( 2x = -12 \)
• \( x = 10 \) или \( x = -6 \)
3. \(9(3x + 1)²-4(3x + 1) = 0\)


• Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3x+1 \).
• Тогда уравнение примет вид: \( 9y^2 - 4y = 0 \)
• Вынесем общий множитель \( y \):
• \( y(9y - 4) = 0 \)
• \( y = 0 \) или \( 9y - 4 = 0 \)
• \( y = 0 \) или \( 9y = 4 \)
• \( y = 0 \) или \( y = \frac{4}{9} \)
• Теперь вернемся к замене:
• \( 3x+1 = 0 \) или \( 3x+1 = \frac{4}{9} \)
• \( 3x = -1 \) или \( 3x = \frac{4}{9} - 1 \)
• \( x = -\frac{1}{3} \) или \( 3x = -\frac{5}{9} \)
• \( x = -\frac{1}{3} \) или \( x = -\frac{5}{27} \)
4. \((9x-12)x(9x-12) = 0\)


• Перепишем уравнение: \( x(9x-12)^2 = 0 \)
• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• \( x = 0 \) или \( (9x-12)^2 = 0 \)
• \( x = 0 \) или \( 9x-12 = 0 \)
• \( x = 0 \) или \( 9x = 12 \)
• \( x = 0 \) или \( x = \frac{12}{9} \)
• \( x = 0 \) или \( x = \frac{4}{3} \)

Ответ: 1) x = -6, x = 9; 2) x = 10, x = -6; 3) x = -1/3, x = -5/27; 4) x = 0, x = 4/3.