Решите уравнение, используя свойства функций, участвующих в их записи. √7 + 3x - √5-4x = 1 - 2√x + 2. Ответ запишите в формате: х="число", если решений нет, то напишите: уравнение корней не имеет

Решение:

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения нам нужно найти такие значения x, при которых оба корня определены, то есть подкоренные выражения неотрицательны.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
   1. \(7 + 3x \ge 0 \implies 3x \ge -7 \implies x \ge - \frac{7}{3} \)
   2. \(5 - 4x \ge 0 \implies 5 \ge 4x \implies x \le \frac{5}{4} \)
   3. \(x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 \)
   Объединяя все условия, получаем \( -2 \le x \le \frac{5}{4} \).
2. Решим уравнение: \( \sqrt{7 + 3x} - \sqrt{5 - 4x} = 1 - 2\sqrt{x + 2} \)
3. Перенесём члены уравнения: \( \sqrt{7 + 3x} + 2\sqrt{x + 2} = 1 + \sqrt{5 - 4x} \)
4. Возведём обе части уравнения в квадрат:
   \( (\sqrt{7 + 3x} + 2\sqrt{x + 2})^2 = (1 + \sqrt{5 - 4x})^2 \)
   \( (7 + 3x) + 4(x + 2) + 4\sqrt{(7 + 3x)(x + 2)} = 1 + (5 - 4x) + 2\sqrt{5 - 4x} \)
   \( 7 + 3x + 4x + 8 + 4\sqrt{7x + 14 + 3x^2 + 6x} = 6 - 4x + 2\sqrt{5 - 4x} \)
   \( 15 + 7x + 4\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 6 - 4x + 2\sqrt{5 - 4x} \)
5. Перегруппируем члены:
   \( 11 + 11x + 4\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 2\sqrt{5 - 4x} \)
6. Заметим, что при x = -2, уравнение может иметь решение. Подставим x = -2 в исходное уравнение:
   \( \sqrt{7 + 3(-2)} - \sqrt{5 - 4(-2)} = 1 - 2\sqrt{-2 + 2} \)
   \( \sqrt{7 - 6} - \sqrt{5 + 8} = 1 - 2\sqrt{0} \)
   \( \sqrt{1} - \sqrt{13} = 1 \)
   \( 1 - \sqrt{13} = 1 \) \( -\sqrt{13} = 0 \) — Неверно.
7. Заметим, что при x = 5/4, уравнение может иметь решение. Подставим x = 5/4 в исходное уравнение:
   \( \sqrt{7 + 3(5/4)} - \sqrt{5 - 4(5/4)} = 1 - 2\sqrt{5/4 + 2} \)
   \( \sqrt{7 + 15/4} - \sqrt{5 - 5} = 1 - 2\sqrt{13/4} \)
   \( \sqrt{43/4} - 0 = 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} \)
   \( \frac{\sqrt{43}}{2} = 1 - \sqrt{13} \) — Неверно.
8. Попробуем найти функцию, которая является монотонно возрастающей или убывающей.
   Пусть \( f(x) = \sqrt{7 + 3x} - \sqrt{5 - 4x} \) и \( g(x) = 1 - 2\sqrt{x + 2} \).
9. Проверим простые значения из ОДЗ:
   При \( x = -1 \): \( f(-1) = \sqrt{7 - 3} - \sqrt{5 + 4} = \sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 - 3 = -1 \). \( g(-1) = 1 - 2\sqrt{-1 + 2} = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1 \).
10. Так как \( f(-1) = g(-1) \), то \( x = -1 \) является корнем уравнения.

Ответ: x = -1.