Решите уравнение, используя свойства функций, участвующих в их записи. √x² - 3x + 2 + √-x² + 2x = √x² + 5x - 6. Ответ запишите в формате: х="число", если решений нет, то напишите: уравнение корней не имеет.

Решение:

Данное уравнение имеет вид:

\( \sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{-x^2 + 2x} = \sqrt{x^2 + 5x - 6} \)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться условия неотрицательности подкоренных выражений:

1. \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \)
2. \( -x^2 + 2x \ge 0 \)
3. \( x^2 + 5x - 6 \ge 0 \)

Решим каждое неравенство:

1. \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \)

Корни уравнения \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) равны \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \). Парабола ветвями вверх, значит \( x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \).

2. \( -x^2 + 2x \ge 0 \)

Вынесем \( x \) за скобки: \( x(-x + 2) \ge 0 \). Корни \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \). Парабола ветвями вниз, значит \( x \in [0, 2] \).

3. \( x^2 + 5x - 6 \ge 0 \)

Корни уравнения \( x^2 + 5x - 6 = 0 \) равны \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -6 \). Парабола ветвями вверх, значит \( x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty) \).

Теперь найдём пересечение всех трёх областей определения:

\( ( (-\infty, 1] \cup [2, \infty) ) \cap [0, 2] \cap ( (-\infty, -6] \cup [1, \infty) ) \)

Пересечение \( (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \) и \( [0, 2] \) даёт \( [0, 1] \cup \{2\} \).

Пересечение \( [0, 1] \cup \{2\} \) и \( (-\infty, -6] \cup [1, \infty) \) даёт \( \{1\} \cup \{2\} \).

Таким образом, возможные значения \( x \) — это \( x=1 \) и \( x=2 \).

Проверим каждое значение:

При \( x = 1 \):

\( \sqrt{1^2 - 3(1) + 2} + \sqrt{-(1)^2 + 2(1)} = \sqrt{1 - 3 + 2} + \sqrt{-1 + 2} = \sqrt{0} + \sqrt{1} = 0 + 1 = 1 \)

\( \sqrt{1^2 + 5(1) - 6} = \sqrt{1 + 5 - 6} = \sqrt{0} = 0 \)

\( 1 \neq 0 \). Значит, \( x = 1 \) не является решением.

При \( x = 2 \):

\( \sqrt{2^2 - 3(2) + 2} + \sqrt{-(2)^2 + 2(2)} = \sqrt{4 - 6 + 2} + \sqrt{-4 + 4} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0 \)

\( \sqrt{2^2 + 5(2) - 6} = \sqrt{4 + 10 - 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

\( 0 \neq 2\sqrt{2} \). Значит, \( x = 2 \) не является решением.

Так как ни одно из допустимых значений \( x \) не удовлетворяет уравнению, то решений нет.

Ответ: уравнение корней не имеет.