Решите уравнение, используя свойства функций, участвующих в их записи: √-x² + 4x - 3 = |x-1| + |x + 3|.

Решение:

Данное уравнение представляет собой равенство квадратного корня и суммы модулей. Рассматривать его напрямую сложно. Попробуем преобразовать выражения под корнем и модулями.

1. Преобразуем выражение под корнем:

\( -x^2 + 4x - 3 \)

Найдем корни уравнения \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \):

\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4 \), \( x_1 x_2 = 3 \). Корни: \( x_1 = 1, x_2 = 3 \).

Следовательно, \( -x^2 + 4x - 3 = -(x-1)(x-3) = (1-x)(x-3) \).

Для того чтобы квадратный корень был определён, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\( -x^2 + 4x - 3 \ge 0 \)

Это парабола ветвями вниз, корни 1 и 3. Значит, \( 1 \le x \le 3 \).

2. Преобразуем сумму модулей:

\( |x-1| + |x+3| \)

Рассмотрим случаи, зависящие от знаков выражений под модулем:

• Случай 1: \( x < -3 \)
• \( |x-1| = -(x-1) = 1-x \)
• \( |x+3| = -(x+3) = -x-3 \)
• \( |x-1| + |x+3| = (1-x) + (-x-3) = -2x - 2 \)
• Случай 2: \( -3 \le x < 1 \)
• \( |x-1| = -(x-1) = 1-x \)
• \( |x+3| = x+3 \)
• \( |x-1| + |x+3| = (1-x) + (x+3) = 4 \)
• Случай 3: \( x \ge 1 \)
• \( |x-1| = x-1 \)
• \( |x+3| = x+3 \)
• \( |x-1| + |x+3| = (x-1) + (x+3) = 2x + 2 \)

3. Решим уравнение в каждом случае, учитывая ограничение \( 1 \le x \le 3 \):

Случай 1: \( x < -3 \)

Условие \( 1 \le x \le 3 \) не выполняется. Корней нет.

Случай 2: \( -3 \le x < 1 \)

Условие \( 1 \le x \le 3 \) не выполняется. Корней нет.

Случай 3: \( x \ge 1 \)

В этом случае \( |x-1| + |x+3| = 2x+2 \). Уравнение принимает вид:

\( \sqrt{-x^2 + 4x - 3} = 2x + 2 \)

Поскольку левая часть уравнения (квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательна: \( 2x+2 \ge 0 \), что верно при \( x \ge -1 \). Это условие выполняется в нашем случае \( x \ge 1 \).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( -x^2 + 4x - 3 = (2x+2)^2 \)

\( -x^2 + 4x - 3 = 4x^2 + 8x + 4 \)

\( 0 = 5x^2 + 4x + 7 \)

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

\( D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 16 - 140 = -124 \)

Так как \( D < 0 \), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

4. Проверка:

В процессе решения мы установили, что для существования квадратного корня необходимо \( 1 \le x \le 3 \). Также мы проанализировали случаи для суммы модулей. В каждом из случаев, когда \( 1 \le x \le 3 \) (что соответствует третьему случаю для модулей), мы получили квадратное уравнение без действительных корней.

Альтернативный подход:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x - 3} \) и \( g(x) = |x-1| + |x+3| \). Область определения \( f(x) \) — \( [1, 3] \). В этой области \( g(x) = (x-1) + (x+3) = 2x+2 \).

Значения \( g(x) \) на \( [1, 3] \) изменяются от \( 2(1)+2=4 \) до \( 2(3)+2=8 \).

Значения \( f(x) \) на \( [1, 3] \):

\( f(1) = \sqrt{-1+4-3} = 0 \)

\( f(3) = \sqrt{-9+12-3} = 0 \)

\( f(2) = \sqrt{-4+8-3} = \sqrt{1} = 1 \)

Максимальное значение \( f(x) \) достигается в вершине параболы \( -x^2+4x-3 \), которая находится при \( x = -4/(2 \cdot -1) = 2 \). Максимальное значение \( f(2)=1 \).

Таким образом, на промежутке \( [1, 3] \) максимальное значение левой части равно 1, а минимальное значение правой части равно 4. Следовательно, равенство невозможно.

Ответ: уравнение корней не имеет.