221. Решите уравнение, используя введение новой переменной: a) (2x² + 3)² - 12(2x² + 3) + 11 = 0; б) (t² - 2t)² - 3 = 2(t² - 2t); в) (x² + x - 1)(x² + x + 2) = 40; г) (2x² + x - 1)(2x² + x - 4) + 2 = 0.

a) Решим уравнение (2x² + 3)² - 12(2x² + 3) + 11 = 0, используя введение новой переменной.

Пусть $$t = 2x^2 + 3$$, тогда уравнение принимает вид:

$$t^2 - 12t + 11 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$$

$$t_1 = \frac{12 + \sqrt{100}}{2} = \frac{12 + 10}{2} = 11$$

$$t_2 = \frac{12 - \sqrt{100}}{2} = \frac{12 - 10}{2} = 1$$

Возвращаемся к замене:

1) $$2x^2 + 3 = 11$$

$$2x^2 = 11 - 3$$

$$2x^2 = 8$$

$$x^2 = 4$$

$$x_1 = 2, x_2 = -2$$

2) $$2x^2 + 3 = 1$$

$$2x^2 = 1 - 3$$

$$2x^2 = -2$$

$$x^2 = -1$$

Нет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -2$$

---

б) Решим уравнение (t² - 2t)² - 3 = 2(t² - 2t), используя введение новой переменной.

Пусть $$y = t^2 - 2t$$, тогда уравнение принимает вид:

$$y^2 - 3 = 2y$$

$$y^2 - 2y - 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

$$y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Возвращаемся к замене:

1) $$t^2 - 2t = 3$$

$$t^2 - 2t - 3 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

2) $$t^2 - 2t = -1$$

$$t^2 - 2t + 1 = 0$$

$$(t - 1)^2 = 0$$

$$t = 1$$

Ответ: $$t_1 = 3, t_2 = -1, t_3 = 1$$

---

в) Решим уравнение (x² + x - 1)(x² + x + 2) = 40, используя введение новой переменной.

Преобразуем уравнение:

$$(x^2 + x - 1)(x^2 + x - 1 + 3) = 40$$

Пусть $$t = x^2 + x - 1$$, тогда уравнение принимает вид:

$$t(t + 3) = 40$$

$$t^2 + 3t - 40 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$

$$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 - 13}{2} = -8$$

Возвращаемся к замене:

1) $$x^2 + x - 1 = 5$$

$$x^2 + x - 6 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$

2) $$x^2 + x - 1 = -8$$

$$x^2 + x + 7 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$$

Нет решений, так как дискриминант отрицательный.

Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -3$$

---

г) Решим уравнение (2x² + x - 1)(2x² + x - 4) + 2 = 0, используя введение новой переменной.

Преобразуем уравнение:

$$(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 1 - 3) + 2 = 0$$

Пусть $$t = 2x^2 + x - 1$$, тогда уравнение принимает вид:

$$t(t - 3) + 2 = 0$$

$$t^2 - 3t + 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$

$$t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

$$t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$

Возвращаемся к замене:

1) $$2x^2 + x - 1 = 2$$

$$2x^2 + x - 3 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 + 5}{4} = 1$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}$$

2) $$2x^2 + x - 1 = 1$$

$$2x^2 + x - 2 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$$

$$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$$

$$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$$

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -\frac{3}{2}, x_3 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}, x_4 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$$