321. Решите уравнение, используя введение новой переменной: a) (x² + 6x)² - 5(x² + 6x) = 24; б) (x² - 2x - 5)² - 2(x² - 2x - 5) = 3; в) (x² + 3x - 25)² - 2(x² + 3x - 25) = -7; г) (у + 2)⁴ - (у + 2)² = 12; д) (x² + 2x)(x² + 2x + 2) = 3; e) (x² - x - 16)(x² - x + 2) = 88; ж) (2x² + 7x - 8)(2x² + 7x - 3) – 6 = 0.

Решим уравнения, используя введение новой переменной. a) (x² + 6x)² - 5(x² + 6x) = 24 Пусть $$t = x^2 + 6x$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 5t = 24$$ $$t^2 - 5t - 24 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = (-5)^2 - 4 cdot 1 cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$ $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{5 + 11}{2} = 8$$ $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{5 - 11}{2} = -3$$ Вернемся к переменной x: 1) $$x^2 + 6x = 8$$ $$x^2 + 6x - 8 = 0$$ $$D = 6^2 - 4 cdot 1 cdot (-8) = 36 + 32 = 68$$ $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{17}}{2} = -3 + \sqrt{17}$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{17}}{2} = -3 - \sqrt{17}$$ 2) $$x^2 + 6x = -3$$ $$x^2 + 6x + 3 = 0$$ $$D = 6^2 - 4 cdot 1 cdot 3 = 36 - 12 = 24$$ $$x_3 = \frac{-6 + \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{6}}{2} = -3 + \sqrt{6}$$ $$x_4 = \frac{-6 - \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{6}}{2} = -3 - \sqrt{6}$$ Ответ: $$x_1 = -3 + \sqrt{17}$$, $$x_2 = -3 - \sqrt{17}$$, $$x_3 = -3 + \sqrt{6}$$, $$x_4 = -3 - \sqrt{6}$$ б) (x² - 2x - 5)² - 2(x² - 2x - 5) = 3 Пусть $$t = x^2 - 2x - 5$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 2t = 3$$ $$t^2 - 2t - 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$ Вернемся к переменной x: 1) $$x^2 - 2x - 5 = 3$$ $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$ 2) $$x^2 - 2x - 5 = -1$$ $$x^2 - 2x - 4 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-4) = 4 + 16 = 20$$ $$x_3 = \frac{2 + \sqrt{20}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5}$$ $$x_4 = \frac{2 - \sqrt{20}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5}$$ Ответ: $$x_1 = 4$$, $$x_2 = -2$$, $$x_3 = 1 + \sqrt{5}$$, $$x_4 = 1 - \sqrt{5}$$ в) (x² + 3x - 25)² - 2(x² + 3x - 25) = -7 Пусть $$t = x^2 + 3x - 25$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 2t = -7$$ $$t^2 - 2t + 7 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 7 = 4 - 28 = -24$$ Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: уравнение не имеет действительных решений. г) (у + 2)⁴ - (у + 2)² = 12 Пусть $$t = (y + 2)^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - t = 12$$ $$t^2 - t - 12 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ $$t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3$$ Вернемся к переменной y: 1) $$(y + 2)^2 = 4$$ $$y + 2 = \pm 2$$ $$y_1 = -2 + 2 = 0$$ $$y_2 = -2 - 2 = -4$$ 2) $$(y + 2)^2 = -3$$ Так как квадрат не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $$y_1 = 0$$, $$y_2 = -4$$ д) (x² + 2x)(x² + 2x + 2) = 3 Пусть $$t = x^2 + 2x$$, тогда уравнение примет вид: $$t(t + 2) = 3$$ $$t^2 + 2t = 3$$ $$t^2 + 2t - 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$ Вернемся к переменной x: 1) $$x^2 + 2x = 1$$ $$x^2 + 2x - 1 = 0$$ $$D = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2}$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}$$ 2) $$x^2 + 2x = -3$$ $$x^2 + 2x + 3 = 0$$ $$D = 2^2 - 4 cdot 1 cdot 3 = 4 - 12 = -8$$ Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $$x_1 = -1 + \sqrt{2}$$, $$x_2 = -1 - \sqrt{2}$$ e) (x² - x - 16)(x² - x + 2) = 88 Пусть $$t = x^2 - x$$, тогда уравнение примет вид: $$(t - 16)(t + 2) = 88$$ $$t^2 - 14t - 32 = 88$$ $$t^2 - 14t - 120 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = (-14)^2 - 4 cdot 1 cdot (-120) = 196 + 480 = 676$$ $$t_1 = \frac{14 + \sqrt{676}}{2} = \frac{14 + 26}{2} = 20$$ $$t_2 = \frac{14 - \sqrt{676}}{2} = \frac{14 - 26}{2} = -6$$ Вернемся к переменной x: 1) $$x^2 - x = 20$$ $$x^2 - x - 20 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$ $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = -4$$ 2) $$x^2 - x = -6$$ $$x^2 - x + 6 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot 6 = 1 - 24 = -23$$ Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -4$$ ж) (2x² + 7x - 8)(2x² + 7x - 3) – 6 = 0 Пусть $$t = 2x^2 + 7x$$, тогда уравнение примет вид: $$(t - 8)(t - 3) - 6 = 0$$ $$t^2 - 11t + 24 - 6 = 0$$ $$t^2 - 11t + 18 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$$ $$t_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2} = \frac{11 + 7}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2} = \frac{11 - 7}{2} = 2$$ Вернёмся к переменной x: 1) $$2x^2 + 7x = 9$$ $$2x^2 + 7x - 9 = 0$$ $$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$ $$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{4} = \frac{-7 + 11}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{4} = \frac{-7 - 11}{4} = -\frac{9}{2}$$ 2) $$2x^2 + 7x = 2$$ $$2x^2 + 7x - 2 = 0$$ $$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 49 + 16 = 65$$ $$x_3 = \frac{-7 + \sqrt{65}}{4}$$ $$x_4 = \frac{-7 - \sqrt{65}}{4}$$ Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -\frac{9}{2}$$, $$x_3 = \frac{-7 + \sqrt{65}}{4}$$, $$x_4 = \frac{-7 - \sqrt{65}}{4}$$