Решите уравнение: (2k+1)(k-3) / k+11 = 2k^2-5k-3 / 3-k.

Решим уравнение:

$$\frac{(2k+1)(k-3)}{k+11} = \frac{2k^2-5k-3}{3-k}.$$

Заметим, что

$$(2k+1)(k-3) = 2k^2 -6k + k -3 = 2k^2 -5k -3.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\frac{2k^2-5k-3}{k+11} = \frac{2k^2-5k-3}{3-k}.$$

Перенесем все в одну сторону:

$$\frac{2k^2-5k-3}{k+11} - \frac{2k^2-5k-3}{3-k} = 0.$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$(2k^2-5k-3)\left(\frac{1}{k+11} - \frac{1}{3-k}\right) = 0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим первый множитель:

$$2k^2-5k-3 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.$$

Тогда корни уравнения:

$$k_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5+7}{4} = \frac{12}{4} = 3,$$ $$k_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5-7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.$$

Теперь рассмотрим второй множитель:

$$\frac{1}{k+11} - \frac{1}{3-k} = 0,$$ $$\frac{1}{k+11} = \frac{1}{3-k},$$ $$k+11 = 3-k,$$ $$2k = -8,$$ $$k = -4.$$

Теперь проверим, при каких значениях знаменатели обращаются в ноль:

$$k+11 = 0 \Rightarrow k = -11,$$ $$3-k = 0 \Rightarrow k = 3.$$

Таким образом, корень k = 3 не подходит.

Окончательно получаем корни:

$$k_1 = -\frac{1}{2},$$ $$k_2 = -4.$$

Ответ: $$k_1 = -\frac{1}{2}, k_2 = -4$$