Решите уравнение: \( \left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2 - 11} = \left(\frac{3}{5}\right)^9 \)

Решение:

Перепишем уравнение, приведя основания степеней к одному виду. Заметим, что \( \frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \).

1. Подставим это в исходное уравнение: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\right)^{x^2 - 11} = \left(\frac{3}{5}\right)^9 \]
2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-2(x^2 - 11)} = \left(\frac{3}{5}\right)^9 \]
3. Применим свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \[ \left(\frac{3}{5}\right)^{x - 2(x^2 - 11)} = \left(\frac{3}{5}\right)^9 \]
4. Приравняем показатели степеней, так как основания равны: \[ x - 2(x^2 - 11) = 9 \]
5. Раскроем скобки и приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \[ x - 2x^2 + 22 = 9 \] \[ -2x^2 + x + 22 - 9 = 0 \] \[ -2x^2 + x + 13 = 0 \]
6. Умножим уравнение на -1 для удобства: \[ 2x^2 - x - 13 = 0 \]
7. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-13) = 1 + 104 = 105 \]
8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
9. Найдём корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{105}}{4} \]

Ответ: \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{105}}{4}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{105}}{4} \).