Решите уравнение: lg(x-1) / lg(3x-5) = 5

Решение:

Дано уравнение: \( \frac{\lg(x-1)}{\lg \sqrt[5]{3x-5}} = 5 \).

1. ОДЗ (область допустимых значений): \( x-1 > 0 \) и \( 3x-5 > 0 \). Из \( x-1 > 0 \) следует \( x > 1 \). Из \( 3x-5 > 0 \) следует \( 3x > 5 \), то есть \( x > \frac{5}{3} \). Объединяя условия, получаем \( x > \frac{5}{3} \).
2. Перепишем уравнение, используя свойства логарифмов: \( \lg(x-1) = 5 \lg \sqrt[5]{3x-5} \)
3. Применим свойство логарифма \( n \cdot \lg a = \lg a^n \): \( \lg(x-1) = \lg((\sqrt[5]{3x-5})^5) \)
4. Упростим выражение под логарифмом: \( \lg(x-1) = \lg(3x-5) \)
5. Поскольку логарифмическая функция является взаимно однозначной, приравняем аргументы: \( x-1 = 3x-5 \)
6. Решим полученное линейное уравнение: \( -1+5 = 3x-x \) \( 4 = 2x \) \( x = 2 \)
7. Проверим, входит ли найденное значение \( x = 2 \) в ОДЗ \( x > \frac{5}{3} \). Так как \( 2 > \frac{5}{3} \) (что равно \( 1.66... \)), то \( x = 2 \) является решением.

Ответ: 2.