Решите уравнение: lg(x-1) / (lg(3x-5)^5) = 5. Выберите один ответ.

Решение:

Заданное уравнение:

\[ \frac{\lg{(x-1)}}{\lg{\sqrt[5]{3x-5}}} = 5 \]

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   
   • \( x-1 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > 1 \)
   • \( 3x-5 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > \frac{5}{3} \)
   • \( \lg{\sqrt[5]{3x-5}} \neq 0 \) \(\Rightarrow\) \( \sqrt[5]{3x-5} \neq 1 \) \(\Rightarrow\) \( 3x-5 \neq 1 \) \(\Rightarrow\) \( 3x \neq 6 \) \(\Rightarrow\) \( x \neq 2 \)
   
   Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > \frac{5}{3} \) и \( x \neq 2 \).
2. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

\[ \lg{(x-1)} = 5 \cdot \lg{\sqrt[5]{3x-5}} \]

\[ \lg{(x-1)} = \lg{\left(\sqrt[5]{3x-5}\right)^5} \]

\[ \lg{(x-1)} = \lg{(3x-5)} \]

Так как логарифмическая функция является взаимно однозначной, можем приравнять аргументы:

\[ x-1 = 3x-5 \]

\[ 2x = 4 \]

\[ x = 2 \]

Проверим полученное значение \( x=2 \) на соответствие ОДЗ. Мы видим, что \( x=2 \) не входит в ОДЗ, так как знаменатель логарифма обращается в ноль. Следовательно, у данного уравнения нет решений.

Ответ: Нет решения.