Решите уравнение log4 (35+ x) = log4 (2x)+1. В ответ укажите его корень. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ укажите сумму его корней. Если уравнение не имеет корней, то в ответ запишите число 100500. В ответ запишите целое число или конечную десятичную дробь.

Ответ: -3

Пошаговое решение:

1. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

   \[\log_4(35+x) = \log_4(2-x) + 1\] \[\log_4(35+x) = \log_4(2-x) + \log_4(4)\] \[\log_4(35+x) = \log_4(4(2-x))\]

2. Убираем логарифмы, так как основания одинаковые:

   \[35 + x = 4(2 - x)\] \[35 + x = 8 - 4x\]

3. Решаем полученное линейное уравнение:

   \[5x = -27\] \[x = -\frac{27}{5} = -5.4\]

4. Проверяем, входит ли корень в область определения логарифмов:

   Для \(\log_4(35+x)\):

   \[35 + x > 0 \Rightarrow x > -35\]

   Для \(\log_4(2-x)\):

   \[2 - x > 0 \Rightarrow x < 2\]

   Корень \(x = -5.4\) удовлетворяет обоим условиям, так как \(-35 < -5.4 < 2\).

Ответ: -5.4