Решите уравнение: log_√2(x - 1) - log_{1/2}(x - 1) = log_2(x^2 + 3x - 4)

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

• \( x - 1 > 0 \implies x > 1 \)
• \( x^2 + 3x - 4 > 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 + 3x - 4 = 0 \): \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). \( x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \). Так как парабола \( y = x^2 + 3x - 4 \) направлена ветвями вверх, то \( x^2 + 3x - 4 > 0 \) при \( x < -4 \) или \( x > 1 \).

Объединяя условия \( x > 1 \) и (\( x < -4 \) или \( x > 1 \)), получаем ОДЗ: \( x > 1 \).

Теперь преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

\( \log_{\sqrt{2}}(x-1) = \log_{2^{1/2}}(x-1) = \frac{1}{1/2} \log_{2}(x-1) = 2 \log_{2}(x-1) \)

\( \log_{1/2}(x-1) = \log_{2^{-1}}(x-1) = \frac{1}{-1} \log_{2}(x-1) = -\log_{2}(x-1) \)

Подставляем преобразованные выражения в исходное уравнение:

\[ 2 \log_{2}(x-1) - (-\log_{2}(x-1)) = \log_{2}(x^2 + 3x - 4) \]

\[ 2 \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x-1) = \log_{2}(x^2 + 3x - 4) \]

\[ 3 \log_{2}(x-1) = \log_{2}(x^2 + 3x - 4) \]

\[ \log_{2}((x-1)^3) = \log_{2}(x^2 + 3x - 4) \]

Приравниваем аргументы логарифмов:

\[ (x-1)^3 = x^2 + 3x - 4 \]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = x^2 + 3x - 4 \]

\[ x^3 - 3x^2 - x^2 + 3x - 3x - 1 + 4 = 0 \]

\[ x^3 - 4x^2 + 3 = 0 \]

Подберем целочисленные корни. Возможные корни — делители числа 3: \( \pm 1, \pm 3 \).

Проверим \( x = 1 \): \( 1^3 - 4(1)^2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \). Значит, \( x=1 \) — корень.

Поделим многочлен \( x^3 - 4x^2 + 3 \) на \( (x-1) \) столбиком или по схеме Горнера.

При делении на \( (x-1) \) получаем \( x^2 - 3x - 3 \).

Таким образом, уравнение примет вид:

\[ (x-1)(x^2 - 3x - 3) = 0 \]

У нас два случая:

1. \( x - 1 = 0 \implies x = 1 \). Этот корень не входит в ОДЗ (\( x > 1 \)), поэтому не является решением.
2. \( x^2 - 3x - 3 = 0 \). Решим квадратное уравнение:

   \[ D = (-3)^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21 \]

   \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} \]

   Получаем два корня: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \) и \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \).

   Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ \( x > 1 \).

   \( \sqrt{21} \) примерно равно 4.58.

   \( x_1 = \frac{3 + 4.58}{2} = \frac{7.58}{2} = 3.79 \). Так как \( 3.79 > 1 \), этот корень подходит.

   \( x_2 = \frac{3 - 4.58}{2} = \frac{-1.58}{2} = -0.79 \). Так как \( -0.79 < 1 \), этот корень не подходит.

Ответ: \( x = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \).