Решите уравнение: log₂(2x − 1) = 3

Решение:

Чтобы решить логарифмическое уравнение \( \log_2(2x - 1) = 3 \), нужно перейти от логарифмической формы к показательной. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

В нашем случае, основание логарифма \( a = 2 \), результат логарифмирования \( c = 3 \), а выражение под знаком логарифма \( b = 2x - 1 \).

Применяем определение логарифма:

\[ 2^3 = 2x - 1 \]

Вычисляем \( 2^3 \):

\[ 8 = 2x - 1 \]

Теперь решаем полученное линейное уравнение:

Переносим \( -1 \) в левую часть, меняя знак:

\[ 8 + 1 = 2x \]

\[ 9 = 2x \]

Делим обе части на \( 2 \), чтобы найти \( x \):

\[ x = \frac{9}{2} \]

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

\[ x = 4.5 \]

Проверим, входит ли найденное значение \( x \) в область допустимых значений (ОДЗ). Для логарифма \( \log_2(2x - 1) \) аргумент \( 2x - 1 \) должен быть строго больше нуля.

\[ 2x - 1 > 0 \]

\[ 2x > 1 \]

\[ x > \frac{1}{2} \]

Наше решение \( x = 4.5 \) удовлетворяет условию \( x > 0.5 \). Следовательно, решение верное.

Ответ: x = 4.5