Решите уравнение: log_8 x + log_4 x + log_2 x = 11

Решение:

Для решения уравнения приведём логарифмы к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 2.

1. Преобразуем логарифмы:
   • \( \log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3} = \frac{1}{3} \log_2 x \)
   • \( \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} = \frac{1}{2} \log_2 x \)
2. Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
   • \( \frac{1}{3} \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 x + \log_2 x = 11 \)
3. Вынесем \( \log_2 x \) за скобки:
   • \( \log_2 x \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) = 11 \)
4. Приведём дроби к общему знаменателю:
   • \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6} = \frac{11}{6} \)
5. Уравнение примет вид:
   • \( \frac{11}{6} \log_2 x = 11 \)
6. Разделим обе части уравнения на \( \frac{11}{6} \):
   • \( \log_2 x = 11 \cdot \frac{6}{11} \)
   • \( \log_2 x = 6 \)
7. Перейдём от логарифмического уравнения к степенному:
   • \( x = 2^6 \)
   • \( x = 64 \)
8. Проверим, что \( x > 0 \) для существования логарифмов: \( 64 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: 64