Решите уравнение: log base 8 of x + log base 4 of x + log base 2 of x = 11

Решение:

Для решения данного уравнения приведём все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Используем формулу смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

1. Изменим основание логарифмов:
   • \( \log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3} \)
   • \( \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} \)
   • \( \log_2 x \) остаётся без изменений.
2. Подставим преобразованные логарифмы в исходное уравнение:
   • \( \frac{\log_2 x}{3} + \frac{\log_2 x}{2} + \log_2 x = 11 \)
3. Приведём подобные слагаемые. Для этого вынесем \( \log_2 x \) за скобки:
   • \( \log_2 x \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) = 11 \)
4. Сложим дроби в скобках:
   • \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6} = \frac{11}{6} \)
5. Получим уравнение:
   • \( \log_2 x \cdot \frac{11}{6} = 11 \)
6. Выразим \( \log_2 x \):
   • \( \log_2 x = 11 \cdot \frac{6}{11} \)
   • \( \log_2 x = 6 \)
7. Преобразуем логарифмическое уравнение в показательное, используя определение логарифма \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \):
   • \( x = 2^6 \)
   • \( x = 64 \)

Ответ: 64.