Решите уравнение log2 (5x - 3) log2x = 3 log2(5x - 3).

Решим заданное логарифмическое уравнение:

1. Преобразуем уравнение: $$log_2(5x - 3) \cdot log_2x = 3 \cdot log_2(5x - 3)$$.
2. Перенесем все члены в левую часть: $$log_2(5x - 3) \cdot log_2x - 3 \cdot log_2(5x - 3) = 0$$.
3. Вынесем общий множитель за скобки: $$log_2(5x - 3) \cdot (log_2x - 3) = 0$$.
4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• $$log_2(5x - 3) = 0$$ или $$(log_2x - 3) = 0$$.

5. Решим первое уравнение: $$log_2(5x - 3) = 0$$.
6. Запишем в показательной форме: $$5x - 3 = 2^0$$.
7. $$5x - 3 = 1$$.
8. $$5x = 4$$.
9. $$x = \frac{4}{5} = 0.8$$.
10. Решим второе уравнение: $$log_2x - 3 = 0$$.
11. $$log_2x = 3$$.
12. Запишем в показательной форме: $$x = 2^3$$.
13. $$x = 8$$.
14. Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.

• Для $$x = 0.8$$:

$$log_2(5 \cdot 0.8 - 3) \cdot log_2(0.8) = 3 \cdot log_2(5 \cdot 0.8 - 3)$$.

$$log_2(4 - 3) \cdot log_2(0.8) = 3 \cdot log_2(4 - 3)$$.

$$log_2(1) \cdot log_2(0.8) = 3 \cdot log_2(1)$$.

$$0 \cdot log_2(0.8) = 3 \cdot 0$$.

$$0 = 0$$.

• Для $$x = 8$$:

$$log_2(5 \cdot 8 - 3) \cdot log_2(8) = 3 \cdot log_2(5 \cdot 8 - 3)$$.

$$log_2(40 - 3) \cdot log_2(8) = 3 \cdot log_2(40 - 3)$$.

$$log_2(37) \cdot log_2(8) = 3 \cdot log_2(37)$$.

$$log_2(37) \cdot 3 = 3 \cdot log_2(37)$$.

$$3log_2(37) = 3log_2(37)$$.

15. Оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: 0.8, 8