Решите уравнение: log2(x^2 - 14x) = 5. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log3 0,1; 5√10].

Решение:

а) Решим уравнение:

1. По определению логарифма, имеем: \( x^2 - 14x = 2^5 \)
2. Упростим уравнение: \( x^2 - 14x = 32 \)
3. Перенесем все члены в одну сторону: \( x^2 - 14x - 32 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 \]
5. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
6. Проверим область допустимых значений. Логарифм определён, когда аргумент больше нуля: \( x^2 - 14x > 0 \).
7. Для \( x = 16 \): \( 16^2 - 14 \cdot 16 = 256 - 224 = 32 > 0 \). Корень подходит.
8. Для \( x = -2 \): \( (-2)^2 - 14 \cdot (-2) = 4 + 28 = 32 > 0 \). Корень подходит.

б) Проверим, принадлежат ли корни отрезку [log₃ 0,1; 5√10].

Сначала оценим границы отрезка:

\( \log_3 0.1 \): Так как \( 0.1 < 1 \), то \( \log_3 0.1 < 0 \). Более точно, \( \log_3 0.1 \approx -2.096 \).

\( 5\sqrt{10} \): \( \sqrt{10} \) примерно равно \( 3.162 \). Значит, \( 5\sqrt{10} \approx 5 \cdot 3.162 = 15.81 \).

Таким образом, отрезок примерно равен \( [-2.096; 15.81] \).

Проверим корни:

Корень \( x_1 = 16 \) не принадлежит отрезку \( [-2.096; 15.81] \), так как \( 16 > 15.81 \).

Корень \( x_2 = -2 \) принадлежит отрезку \( [-2.096; 15.81] \), так как \( -2.096 \le -2 \le 15.81 \).

Ответ: а) x₁ = 16, x₂ = -2. б) Корнем, принадлежащим отрезку, является x = -2.