Решите уравнение: log6 x + log6 (x + 1) = 1

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим. Воспользуемся свойствами логарифмов:

1. Сумма логарифмов равна логарифму произведения: \( \log_6 (x(x+1)) = 1 \)
2. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному, используя определение логарифма \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \): \( x(x+1) = 6^1 \)
3. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 + x = 6 \) \( x^2 + x - 6 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \)
5. Найдем корни уравнения:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2(1)} = \frac{-6}{2} = -3 \)
6. Проверим ОДЗ (область допустимых значений) для исходного уравнения:
• \( x > 0 \)
• \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
• Объединяя условия, получаем \( x > 0 \).
7. Проверим найденные корни:
• Для \( x_1 = 2 \): \( 2 > 0 \) (условие выполняется).
• Для \( x_2 = -3 \): \( -3 > 0 \) (условие НЕ выполняется).

Таким образом, решением уравнения является только \( x = 2 \).

Ответ: 2