Решите уравнение: log6 x + log6(x + 1) = 1

Решение:

1. Используем свойство логарифма: \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \). Получаем: \( \log_6 (x \cdot (x+1)) = 1 \).
2. Переведём логарифмическое уравнение в показательное: \( x(x+1) = 6^1 \).
3. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного: \( x^2 + x = 6 \) \( x^2 + x - 6 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
5. Найдем корни уравнения: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \).
6. Проверим полученные корни на соответствие области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: \( x > 0 \) и \( x+1 > 0 \).
7. Корень \( x_1 = 2 \) удовлетворяет ОДЗ: \( 2 > 0 \) и \( 2+1 = 3 > 0 \).
8. Корень \( x_2 = -3 \) не удовлетворяет ОДЗ, так как \( -3 < 0 \).

Ответ: 2.