Решите уравнение: log6x + log6(x + 1) = 1

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим. Используем свойства логарифмов для его решения.

1. Объединим логарифмы по основанию 6: \( \log_6(x(x+1)) = 1 \)
2. Переведём логарифмическое уравнение в показательное: \( x(x+1) = 6^1 \)
3. Раскроем скобки и приведём уравнение к квадратному виду: \( x^2 + x = 6 \) \( x^2 + x - 6 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)
5. Найдём корни уравнения: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
6. Проверим корни на соответствие области допустимых значений (ОДЗ). Для логарифма \( \log_6 x \) необходимо, чтобы \( x > 0 \). Для логарифма \( \log_6 (x+1) \) необходимо, чтобы \( x+1 > 0 \), то есть \( x > -1 \).
7. Проверяем \( x_1 = 2 \): \( 2 > 0 \) и \( 2 > -1 \). Оба условия выполняются.
8. Проверяем \( x_2 = -3 \): \( -3 \ngtr 0 \). Условие не выполняется.
9. Следовательно, \( x = -3 \) является посторонним корнем.

Ответ: 2