Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Решите уравнение методом введения новой переменной: а) x⁴ − 2x² − 8 = 0; б) x⁴ − 11x² + 18 = 0; в) 2(x² − 1)² − 13(x² − 1)…Фото задания

Ответ:

  1. Пусть \(t=x^2\). Тогда \(t^2-2t-8=0\), откуда \(t_1=4\), \(t_2=-2\). Так как \(x^2\ge0\), берём \(t=4\): \(x^2=4\).
    Ответ: \(x_1=2,\ x_2=-2\).
  2. Пусть \(t=x^2\). Тогда \(t^2-11t+18=0\), то есть \((t-2)(t-9)=0\).
    \(t=2\): \(x=\pm\sqrt2\); \(t=9\): \(x=\pm3\).
    Ответ: \(x=\pm\sqrt2,\ \pm3\).
  3. Пусть \(t=x^2-1\). Тогда \(2t^2-13t-24=0\).
    \(D=169+192=361=19^2\), поэтому \(t_1=8\), \(t_2=-\frac32\).
    1) \(x^2-1=8\), \(x^2=9\), \(x=\pm3\).
    2) \(x^2-1=-\frac32\), \(x^2=-\frac12\) — действительных корней нет.
    Ответ: \(x_1=3,\ x_2=-3\).
  4. Пусть \(t=x^2-4x\). Тогда \(t^2+9t+20=0\), то есть \((t+4)(t+5)=0\).
    1) \(x^2-4x=-4\), \((x-2)^2=0\), \(x=2\).
    2) \(x^2-4x=-5\), \(x^2-4x+5=0\). Его дискриминант \(D=16-20=-4<0\), действительных корней нет.
    Ответ: \(x=2\).