Решите уравнение методом замены переменной: 1) (x²-7)² - 6(x²-7) - 16 = 0; 2) (x-3)⁴ - 5(x-3)² + 4 = 0; 3) (x²+2x)² - 27(x²+2x) + 72 = 0; 4) (x²-5x-2)² + 4x² - 20x - 40 = 0; 5) (x²+3x+1)(x²+3x+3) = -1; 6) (x⁴-5x²)² - 2(x⁴-5x²) = 24.

Решение:

1) (x²-7)² - 6(x²-7) - 16 = 0

1. Пусть \( y = x^2 - 7 \). Уравнение примет вид: \( y^2 - 6y - 16 = 0 \).
2. Находим корни квадратного уравнения: \( y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-16)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2} \).
3. \( y_1 = \frac{6 + 10}{2} = 8 \), \( y_2 = \frac{6 - 10}{2} = -2 \).
4. Подставляем обратно \( y = x^2 - 7 \):
• \( x^2 - 7 = 8 \Rightarrow x^2 = 15 \Rightarrow x = \pm \sqrt{15} \)
• \( x^2 - 7 = -2 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \)

2) (x-3)⁴ - 5(x-3)² + 4 = 0

1. Пусть \( y = (x-3)^2 \). Уравнение примет вид: \( y^2 - 5y + 4 = 0 \).
2. Находим корни квадратного уравнения: \( y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \).
3. \( y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \), \( y_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \).
4. Подставляем обратно \( y = (x-3)^2 \):
• \( (x-3)^2 = 4 \Rightarrow x-3 = \pm 2 \Rightarrow x = 3 \pm 2 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = 1 \)
• \( (x-3)^2 = 1 \Rightarrow x-3 = \pm 1 \Rightarrow x = 3 \pm 1 \Rightarrow x_3 = 4, x_4 = 2 \)

3) (x²+2x)² - 27(x²+2x) + 72 = 0

1. Пусть \( y = x^2 + 2x \). Уравнение примет вид: \( y^2 - 27y + 72 = 0 \).
2. Находим корни квадратного уравнения: \( y = \frac{27 \pm \sqrt{(-27)^2 - 4(1)(72)}}{2} = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 288}}{2} = \frac{27 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{27 \pm 21}{2} \).
3. \( y_1 = \frac{27 + 21}{2} = 24 \), \( y_2 = \frac{27 - 21}{2} = 3 \).
4. Подставляем обратно \( y = x^2 + 2x \):
• \( x^2 + 2x = 24 \Rightarrow x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow (x+6)(x-4) = 0 \Rightarrow x_1 = -6, x_2 = 4 \)
• \( x^2 + 2x = 3 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x+3)(x-1) = 0 \Rightarrow x_3 = -3, x_4 = 1 \)

4) (x²-5x-2)² + 4x² - 20x - 40 = 0

1. Перепишем уравнение: \( (x^2 - 5x - 2)^2 + 4(x^2 - 5x) - 40 = 0 \).
2. Заметим, что \( x^2 - 5x = (x^2 - 5x - 2) + 2 \).
3. Пусть \( y = x^2 - 5x - 2 \). Тогда \( x^2 - 5x = y + 2 \). Уравнение примет вид: \( y^2 + 4(y+2) - 40 = 0 \).
4. \( y^2 + 4y + 8 - 40 = 0 \Rightarrow y^2 + 4y - 32 = 0 \).
5. Находим корни квадратного уравнения: \( y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-32)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2} \).
6. \( y_1 = \frac{-4 + 12}{2} = 4 \), \( y_2 = \frac{-4 - 12}{2} = -8 \).
7. Подставляем обратно \( y = x^2 - 5x - 2 \):
• \( x^2 - 5x - 2 = 4 \Rightarrow x^2 - 5x - 6 = 0 \Rightarrow (x-6)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 6, x_2 = -1 \)
• \( x^2 - 5x - 2 = -8 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = 3 \)

5) (x²+3x+1)(x²+3x+3) = -1

1. Пусть \( y = x^2 + 3x \). Уравнение примет вид: \( (y+1)(y+3) = -1 \).
2. \( y^2 + 3y + y + 3 = -1 \Rightarrow y^2 + 4y + 4 = 0 \).
3. Находим корни квадратного уравнения: \( (y+2)^2 = 0 \Rightarrow y = -2 \).
4. Подставляем обратно \( y = x^2 + 3x \):
• \( x^2 + 3x = -2 \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = -2 \)

6) (x⁴-5x²)² - 2(x⁴-5x²) = 24

1. Пусть \( y = x^4 - 5x^2 \). Уравнение примет вид: \( y^2 - 2y - 24 = 0 \).
2. Находим корни квадратного уравнения: \( y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-24)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{2 \pm 10}{2} \).
3. \( y_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6 \), \( y_2 = \frac{2 - 10}{2} = -4 \).
4. Подставляем обратно \( y = x^4 - 5x^2 \):
• \( x^4 - 5x^2 = 6 \Rightarrow x^4 - 5x^2 - 6 = 0 \). Пусть \( z = x^2 \). \( z^2 - 5z - 6 = 0 \Rightarrow (z-6)(z+1) = 0 \). \( z = 6 \) или \( z = -1 \).
• \( x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6} \)
• \( x^2 = -1 \Rightarrow \text{нет действительных корней} \)
• \( x^4 - 5x^2 = -4 \Rightarrow x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \). Пусть \( z = x^2 \). \( z^2 - 5z + 4 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-1) = 0 \). \( z = 4 \) или \( z = 1 \).
• \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)
• \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)

Ответ: 1) \( \pm \sqrt{15}, \pm \sqrt{5} \); 2) 1, 2, 4, 5; 3) -6, -3, 1, 4; 4) -1, 6, 2, 3; 5) -1, -2; 6) \( \pm \sqrt{6}, \pm 2, \pm 1 \).