167. Решите уравнение методом замены переменной: 1) (2x+3)2 2x+3 2 x-8+x+2 x+2x-3 x-1 2(x-1) +2=0; 1 www.* 5 4) 3x+4-6(x-2)=1; x-2 3x+ 5)²+1-8-2242-6=1; 6) 1 2000 ০০০০০- 2 5; 7)-8x+3 0000 8)x2-6x+12x²+6x = 10.

Привет! Разберем эти уравнения, используя метод замены переменной. Это поможет упростить задачу и найти решение. Поехали!

1. Краткое пояснение: Заменим выражение \[\frac{x}{2x+3}\] на новую переменную.

   Рассмотрим уравнение: \[\frac{x^2}{(2x+3)^2} - \frac{3x}{2x+3} + 2 = 0\]

   Пусть \[t = \frac{x}{2x+3}\]

   Тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 3t + 2 = 0\]

   Решим квадратное уравнение: \[t^2 - 3t + 2 = 0\]

   Дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\]

   Корни: \[t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1\]

   Вернемся к исходной переменной:

   1) \[\frac{x}{2x+3} = 2\]

   \[x = 2(2x+3)\]

   \[x = 4x + 6\]

   \[-3x = 6\]

   \[x = -2\]

   2) \[\frac{x}{2x+3} = 1\]

   \[x = 2x + 3\]

   \[-x = 3\]

   \[x = -3\]

   Ответ: \[x = -2, -3\]

2. Краткое пояснение: Сначала упростим уравнение, затем сделаем замену.

   Рассмотрим уравнение: \[\frac{x-3}{x+2} + \frac{x+2}{x-3} = 4\frac{1}{4}\]

   \[\frac{x-3}{x+2} + \frac{x+2}{x-3} = \frac{17}{4}\]

   Пусть \[t = \frac{x-3}{x+2}\]

   Тогда уравнение примет вид: \[t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}\]

   Умножим обе части на 4t: \[4t^2 + 4 = 17t\]

   \[4t^2 - 17t + 4 = 0\]

   Решим квадратное уравнение: \[4t^2 - 17t + 4 = 0\]

   Дискриминант: \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225\]

   Корни: \[t_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4, \quad t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]

   Вернемся к исходной переменной:

   1) \[\frac{x-3}{x+2} = 4\]

   \[x - 3 = 4(x + 2)\]

   \[x - 3 = 4x + 8\]

   \[-3x = 11\]

   \[x = -\frac{11}{3}\]

   2) \[\frac{x-3}{x+2} = \frac{1}{4}\]

   \[4(x - 3) = x + 2\]

   \[4x - 12 = x + 2\]

   \[3x = 14\]

   \[x = \frac{14}{3}\]

   Ответ: \[x = -\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\]

3. Краткое пояснение: Упростим, сократив выражение, затем решим уравнение.

   Рассмотрим уравнение: \[\frac{x-1}{x} - \frac{3x}{2(x-1)} = -\frac{5}{2}\]

   Умножим обе части на 2x(x-1): \[2(x-1)^2 - 3x^2 = -5x(x-1)\]

   \[2(x^2 - 2x + 1) - 3x^2 = -5x^2 + 5x\]

   \[2x^2 - 4x + 2 - 3x^2 = -5x^2 + 5x\]

   \[-x^2 - 4x + 2 = -5x^2 + 5x\]

   \[4x^2 - 9x + 2 = 0\]

   Решим квадратное уравнение: \[4x^2 - 9x + 2 = 0\]

   Дискриминант: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49\]

   Корни: \[x_1 = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2, \quad x_2 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]

   Ответ: \[x = 2, \frac{1}{4}\]

4. Краткое пояснение: Преобразуем уравнение, затем сделаем замену.

   Рассмотрим уравнение: \[\frac{3x+4}{x-2} - \frac{6(x-2)}{3x+4} = 1\]

   Пусть \[t = \frac{3x+4}{x-2}\]

   Тогда уравнение примет вид: \[t - \frac{6}{t} = 1\]

   Умножим обе части на t: \[t^2 - 6 = t\]

   \[t^2 - t - 6 = 0\]

   Решим квадратное уравнение: \[t^2 - t - 6 = 0\]

   Дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]

   Корни: \[t_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3, \quad t_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

   Вернемся к исходной переменной:

   1) \[\frac{3x+4}{x-2} = 3\]

   \[3x + 4 = 3(x - 2)\]

   \[3x + 4 = 3x - 6\]

   \[4 = -6\]

   Решений нет.

   2) \[\frac{3x+4}{x-2} = -2\]

   \[3x + 4 = -2(x - 2)\]

   \[3x + 4 = -2x + 4\]

   \[5x = 0\]

   \[x = 0\]

   Ответ: \[x = 0\]

5. Краткое пояснение: Упростим уравнение, затем решим его.

   Рассмотрим уравнение: \[\frac{x^2+x-3}{2} - \frac{8}{2x^2+2x-6} = 1\]

   \[\frac{x^2+x-3}{2} - \frac{8}{2(x^2+x-3)} = 1\]

   Пусть \[t = x^2 + x - 3\]

   Тогда уравнение примет вид: \[\frac{t}{2} - \frac{4}{t} = 1\]

   Умножим обе части на 2t: \[t^2 - 8 = 2t\]

   \[t^2 - 2t - 8 = 0\]

   Решим квадратное уравнение: \[t^2 - 2t - 8 = 0\]

   Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\]

   Корни: \[t_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

   Вернемся к исходной переменной:

   1) \[x^2 + x - 3 = 4\]

   \[x^2 + x - 7 = 0\]

   \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29\]

   \[x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}\]

   2) \[x^2 + x - 3 = -2\]

   \[x^2 + x - 1 = 0\]

   \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5\]

   \[x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

   Ответ: \[x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

6. Краткое пояснение: Сделаем замену и решим уравнение.

   Рассмотрим уравнение: \[\frac{x^2-x-1}{x} - \frac{6x}{x^2-x-1} = 5\]

   Пусть \[t = \frac{x^2-x-1}{x}\]

   Тогда уравнение примет вид: \[t - \frac{6}{t} = 5\]

   Умножим обе части на t: \[t^2 - 6 = 5t\]

   \[t^2 - 5t - 6 = 0\]

   Решим квадратное уравнение: \[t^2 - 5t - 6 = 0\]

   Дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\]

   Корни: \[t_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6, \quad t_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

   Вернемся к исходной переменной:

   1) \[\frac{x^2-x-1}{x} = 6\]

   \[x^2 - x - 1 = 6x\]

   \[x^2 - 7x - 1 = 0\]

   \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53\]

   \[x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2}\]

   2) \[\frac{x^2-x-1}{x} = -1\]

   \[x^2 - x - 1 = -x\]

   \[x^2 - 1 = 0\]

   \[x^2 = 1\]

   \[x = \pm 1\]

   Ответ: \[x = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2}, \pm 1\]

7. Краткое пояснение: Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.

   Рассмотрим уравнение: \[\frac{1}{x^2-3x+3} + \frac{2}{x^2-3x+4} = \frac{6}{x^2-3x+5}\]

   Пусть \[t = x^2 - 3x\]

   Тогда уравнение примет вид: \[\frac{1}{t+3} + \frac{2}{t+4} = \frac{6}{t+5}\]

   Приведем к общему знаменателю: \[\frac{(t+4) + 2(t+3)}{(t+3)(t+4)} = \frac{6}{t+5}\]

   \[\frac{t+4 + 2t+6}{(t+3)(t+4)} = \frac{6}{t+5}\]

   \[\frac{3t+10}{t^2+7t+12} = \frac{6}{t+5}\]

   \[(3t+10)(t+5) = 6(t^2+7t+12)\]

   \[3t^2 + 15t + 10t + 50 = 6t^2 + 42t + 72\]

   \[3t^2 + 25t + 50 = 6t^2 + 42t + 72\]

   \[0 = 3t^2 + 17t + 22\]

   Решим квадратное уравнение: \[3t^2 + 17t + 22 = 0\]

   Дискриминант: \[D = 17^2 - 4 \cdot 3 \cdot 22 = 289 - 264 = 25\]

   Корни: \[t_1 = \frac{-17 + 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2, \quad t_2 = \frac{-17 - 5}{6} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3}\]

   Вернемся к исходной переменной:

   1) \[x^2 - 3x = -2\]

   \[x^2 - 3x + 2 = 0\]

   \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\]

   \[x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1\]

   2) \[x^2 - 3x = -\frac{11}{3}\]

   \[x^2 - 3x + \frac{11}{3} = 0\]

   \[3x^2 - 9x + 11 = 0\]

   \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 81 - 132 = -51\]

   Решений нет.

   Ответ: \[x = 2, 1\]

8. Краткое пояснение: Упростим уравнение.

   Рассмотрим уравнение: \[\frac{8}{x^2-6x+12} - x^2 + 6x = 10\]

   \[\frac{8}{x^2-6x+12} - (x^2 - 6x) = 10\]

   Пусть \[t = x^2 - 6x + 12\]

   Тогда \[x^2 - 6x = t - 12\]

   Уравнение примет вид: \[\frac{8}{t} - (t - 12) = 10\]

   \[\frac{8}{t} - t + 12 = 10\]

   \[\frac{8}{t} - t + 2 = 0\]

   Умножим на t: \[8 - t^2 + 2t = 0\]

   \[t^2 - 2t - 8 = 0\]

   Решим квадратное уравнение: \[t^2 - 2t - 8 = 0\]

   Дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\]

   Корни: \[t_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

   Вернемся к исходной переменной:

   1) \[x^2 - 6x + 12 = 4\]

   \[x^2 - 6x + 8 = 0\]

   \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\]

   \[x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2\]

   2) \[x^2 - 6x + 12 = -2\]

   \[x^2 - 6x + 14 = 0\]

   \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 36 - 56 = -20\]

   Решений нет.

   Ответ: \[x = 4, 2\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно выполнил замену и решил квадратные уравнения!

Доп. профит: Запомни, метод замены переменной помогает упростить сложные уравнения и сделать их более решаемыми.