167. Решите уравнение методом замены переменной: 1) x2/(2x + 3)2 - 3x/(2x + 3) + 2 = 0; 2) x-3/x+2 + x+2/x-3 = 4 1/4;

Решим уравнения методом замены переменной.

1) Дано уравнение: $$\frac{x^2}{(2x + 3)^2} - \frac{3x}{2x + 3} + 2 = 0$$.

1. Определим ОДЗ: $$2x + 3
   eq 0$$, следовательно, $$x
   eq -\frac{3}{2}$$.
2. Заметим, что $$\frac{x^2}{(2x + 3)^2} = \left(\frac{x}{2x + 3}\right)^2$$.
3. Сделаем замену переменной: $$t = \frac{x}{2x + 3}$$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 3t + 2 = 0$$.
4. Решим квадратное уравнение: $$t^2 - 3t + 2 = 0$$. Дискриминант $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$. Корни: $$t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$, $$t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$$.
5. Вернемся к исходной переменной и решим два уравнения:
   • $$\frac{x}{2x + 3} = 2$$; $$x = 2(2x + 3)$$; $$x = 4x + 6$$; $$-3x = 6$$; $$x = -2$$.
   • $$\frac{x}{2x + 3} = 1$$; $$x = 2x + 3$$; $$-x = 3$$; $$x = -3$$.
6. Проверим, входят ли корни в ОДЗ: $$x = -2$$ и $$x = -3$$ оба не равны $$\frac{-3}{2}$$, значит, являются решениями.

Ответ: -2; -3

2) Дано уравнение: $$\frac{x-3}{x+2} + \frac{x+2}{x-3} = 4 \frac{1}{4}$$.

1. Определим ОДЗ: $$x + 2
   eq 0$$ и $$x - 3
   eq 0$$, следовательно, $$x
   eq -2$$ и $$x
   eq 3$$.
2. Сделаем замену переменной: $$t = \frac{x-3}{x+2}$$. Тогда уравнение примет вид: $$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$$.
3. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{t^2 + 1}{t} = \frac{17}{4}$$.
4. $$4(t^2 + 1) = 17t$$; $$4t^2 - 17t + 4 = 0$$.
5. Решим квадратное уравнение: $$4t^2 - 17t + 4 = 0$$. Дискриминант $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$$. Корни: $$t_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$$, $$t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$.
6. Вернемся к исходной переменной и решим два уравнения:
   • $$\frac{x-3}{x+2} = 4$$; $$x - 3 = 4(x + 2)$$; $$x - 3 = 4x + 8$$; $$-3x = 11$$; $$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3}$$.
   • $$\frac{x-3}{x+2} = \frac{1}{4}$$; $$4(x - 3) = x + 2$$; $$4x - 12 = x + 2$$; $$3x = 14$$; $$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$$.
7. Проверим, входят ли корни в ОДЗ: $$x = -3\frac{2}{3}$$ и $$x = 4\frac{2}{3}$$ оба не равны -2 и 3, значит, являются решениями.

Ответ: $$-3\frac{2}{3}; 4\frac{2}{3}$$