Решите уравнение методом замены переменной: 5((x+4)/(x-3))^2 - (4x+16)/(x-3) - 1 = 0. Если уравнение имеет единственный корень, оставьте последнее поле ответа пустым. Если уравнение не имеет корней, оставьте оставьте оба поля ответа пустыми.

Сначала упростим уравнение. Заметим, что \[4x + 16 = 4(x + 4)\]. Тогда уравнение можно переписать как: \[5\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^2 - 4\frac{x+4}{x-3} - 1 = 0\] Сделаем замену: \[t = \frac{x+4}{x-3}\] Тогда уравнение примет вид: \[5t^2 - 4t - 1 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36\] Корни квадратного уравнения: \[t_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = 1\] \[t_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{1}{5}\] Теперь найдем соответствующие значения x: Для \[t_1 = 1\]: \[\frac{x+4}{x-3} = 1\] \[x + 4 = x - 3\] \[4 = -3\] Это равенство неверно, следовательно, нет решений для \[t_1 = 1\]. Для \[t_2 = -\frac{1}{5}\]: \[\frac{x+4}{x-3} = -\frac{1}{5}\] \[5(x+4) = -(x-3)\] \[5x + 20 = -x + 3\] \[6x = -17\] \[x = -\frac{17}{6}\] Таким образом, уравнение имеет только один корень: \[x = -\frac{17}{6}\].

Ответ: x = -17/6