1) Решите уравнение 2sin²x - √2 sin x - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

Решаем:

1. Шаг 1: Решаем уравнение.
   Пусть \( t = \sin x \), тогда уравнение примет вид:
   \[ 2t^2 - \sqrt{2}t - 2 = 0 \]
   Найдем дискриминант:
   \[ D = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 \]
   Найдем корни:
   \[ t_1 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{18}}{4} = \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \]
   \[ t_2 = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{18}}{4} = \frac{\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
   Получаем два случая:
   а) \( \sin x = \sqrt{2} \). Так как \( |\sin x| \le 1 \), это уравнение не имеет решений.
   б) \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Решения этого уравнения:
   \[ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
2. Шаг 2: Отбираем корни на отрезке \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \).
   а) \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \).
   Проверим, какие значения \( k \) дают корни на заданном отрезке:
   \[ -\frac{5\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -\pi \]
   \[ -\frac{5}{2} \le -\frac{1}{4} + 2k \le -1 \]
   \[ -\frac{10}{4} + \frac{1}{4} \le 2k \le -\frac{4}{4} + \frac{1}{4} \]
   \[ -\frac{9}{4} \le 2k \le -\frac{3}{4} \]
   \[ -\frac{9}{8} \le k \le -\frac{3}{8} \]
   Так как \( k \) - целое число, то \( k = -1 \). Тогда корень:
   \[ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi (-1) = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} \]
   б) \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \).
   Проверим, какие значения \( k \) дают корни на заданном отрезке:
   \[ -\frac{5\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le -\pi \]
   \[ -\frac{5}{2} \le -\frac{3}{4} + 2k \le -1 \]
   \[ -\frac{10}{4} + \frac{3}{4} \le 2k \le -\frac{4}{4} + \frac{3}{4} \]
   \[ -\frac{7}{4} \le 2k \le -\frac{1}{4} \]
   \[ -\frac{7}{8} \le k \le -\frac{1}{8} \]
   Так как \( k \) - целое число, то \( k = -1 \). Тогда корень:
   \[ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi (-1) = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4} \]
   Но \( -\frac{11\pi}{4} < -\frac{5\pi}{2} = -\frac{10\pi}{4} \), следовательно, этот корень не принадлежит заданному отрезку.

Ответ: \( x = -\frac{9\pi}{4} \)