1) Решите уравнение 2sin²x - √2sinx - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

Решение:

1) Решим уравнение 2sin²x - √2sinx - 2 = 0. Сделаем замену t = sinx, тогда получим квадратное уравнение относительно t: 2t² - √2t - 2 = 0.

Найдем дискриминант: D = (-√2)² - 4 * 2 * (-2) = 2 + 16 = 18. Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

t₁ = (√2 + √18) / (2 * 2) = (√2 + 3√2) / 4 = 4√2 / 4 = √2 / 1, t₂ = (√2 - √18) / (2 * 2) = (√2 - 3√2) / 4 = -2√2 / 4 = -√2 / 2.

Вернемся к замене: sinx = √2 / 1 > 1 (не имеет решений), sinx = -√2 / 2.

Значит, x = -π/4 + 2πn, x = -3π/4 + 2πn, где n ∈ Z.

2) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

Сначала рассмотрим x = -π/4 + 2πn:

-5π/2 ≤ -π/4 + 2πn ≤ -π. Прибавим π/4 ко всем частям неравенства: -5π/2 + π/4 ≤ 2πn ≤ -π + π/4. Это дает -10π/4 + π/4 ≤ 2πn ≤ -4π/4 + π/4, то есть -9π/4 ≤ 2πn ≤ -3π/4.

Разделим все части неравенства на 2π: -9π/(4 * 2π) ≤ n ≤ -3π/(4 * 2π). Получаем -9/8 ≤ n ≤ -3/8. Так как n ∈ Z, n = -1.

Тогда x = -π/4 + 2π * (-1) = -π/4 - 2π = -π/4 - 8π/4 = -9π/4.

Теперь рассмотрим x = -3π/4 + 2πn:

-5π/2 ≤ -3π/4 + 2πn ≤ -π. Прибавим 3π/4 ко всем частям неравенства: -5π/2 + 3π/4 ≤ 2πn ≤ -π + 3π/4. Это дает -10π/4 + 3π/4 ≤ 2πn ≤ -4π/4 + 3π/4, то есть -7π/4 ≤ 2πn ≤ -π/4.

Разделим все части неравенства на 2π: -7π/(4 * 2π) ≤ n ≤ -π/(4 * 2π). Получаем -7/8 ≤ n ≤ -1/8. Так как n ∈ Z, n = -1.

Тогда x = -3π/4 + 2π * (-1) = -3π/4 - 2π = -3π/4 - 8π/4 = -11π/4.

Оба значения, -9π/4 и -11π/4, попадают в заданный отрезок [-5π/2; -π], поскольку -5π/2 = -10π/4, и -π = -4π/4.

Ответ: -9π/4, -11π/4.