Решите уравнение 2sin²x + 3sinx - 2 = 0. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2].

Решение:

Смотри, тут всё просто: надо решить тригонометрическое уравнение и найти корни на заданном отрезке.

1. Решаем уравнение:

Пусть \( t = \sin x \), тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 + 3t - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \]

Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), то \( t_2 = -2 \) не подходит.

Получаем:

\[ \sin x = \frac{1}{2} \]

Корни уравнения:

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. Находим корни на отрезке \( [-3\pi; -\frac{3\pi}{2}] \):

Смотри, как это работает: нам нужно найти такие целые числа \( n \), чтобы корни уравнения попадали в заданный отрезок.

Подставляем разные значения \( n \) и выбираем подходящие:

Пусть \( n = -1 \):

\[ x = (-1)^{-1} \frac{\pi}{6} + \pi (-1) = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \approx -3.66 \]

Не подходит, так как \( -3\pi \approx -9.42 \) и \( -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 \).

Пусть \( n = -2 \):

\[ x = (-1)^{-2} \frac{\pi}{6} + \pi (-2) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \approx -5.76 \]

Подходит, так как \( -3\pi \le -\frac{11\pi}{6} \le -\frac{3\pi}{2} \).

Пусть \( n = -3 \):

\[ x = (-1)^{-3} \frac{\pi}{6} + \pi (-3) = -\frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{19\pi}{6} \approx -9.95 \]

Не подходит, так как \( -3\pi \le -\frac{19\pi}{6} \) не выполняется.

Теперь рассмотрим корни вида \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \) при других значениях \( n \).

Пусть \( n = -1 \):

\[ x = (-1)^0 \cdot \frac{5\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6} \approx -0.52 \]

Не подходит.

Пусть \( n = -2 \):

\[ x = (-1)^1 \cdot \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -8.9 \]

Подходит.

Пусть \( n = -3 \):

\[ x = (-1)^2 \cdot \frac{5\pi}{6} - 3\pi = \frac{5\pi}{6} - 3\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6.81 \]

Не подходит.

Ответ: Корни на заданном отрезке: \( -\frac{11\pi}{6} \) и \( -\frac{17\pi}{6} \).