Решите уравнение: \(\sin^2(x) = \frac{1}{4}\) для \(0 \le x < 2\pi\)

Решение:

Данное уравнение имеет вид \(\sin^2(x) = \frac{1}{4}\).

1. Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения: \(\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\,\).
2. Получим два отдельных уравнения:
• \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)
• \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\)
3. Решим первое уравнение \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) в интервале \([0, 2\pi)\). Основные решения: \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\).
4. Решим второе уравнение \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\) в интервале \([0, 2\pi)\). Основные решения: \(x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\) и \(x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\).
5. Объединим все найденные решения.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\).