Решите уравнение: sin 2x + 2cos(x - pi/2) = √3 cos x + √3. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi/2; -3pi].

Решение:

Данное уравнение: \( \sin 2x + 2 \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{3} \cos x + \sqrt{3} \).

1. Воспользуемся формулой приведения: \( \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x \).
2. Теперь уравнение примет вид: \( \sin 2x + 2 \sin x = \sqrt{3} \cos x + \sqrt{3} \).
3. Применим формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
4. Уравнение станет: \( 2 \sin x \cos x + 2 \sin x = \sqrt{3} \cos x + \sqrt{3} \).
5. Вынесем общие множители: \( 2 \sin x (\cos x + 1) = \sqrt{3} (\cos x + 1) \).
6. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2 \sin x (\cos x + 1) - \sqrt{3} (\cos x + 1) = 0 \).
7. Вынесем общий множитель \( (\cos x + 1) \): \( (2 \sin x - \sqrt{3}) (\cos x + 1) = 0 \).
8. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
• Случай 1: \( 2 \sin x - \sqrt{3} = 0 \) \( \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Общие решения: \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) или \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
• Случай 2: \( \cos x + 1 = 0 \) \( \implies \cos x = -1 \).
• Общие решения: \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
9. Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( \left[ -\frac{3\pi}{2}; -3\pi \right] \).
• Для \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):
• При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит отрезку.
• Для \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
• При \( n = -1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \). Этот корень принадлежит отрезку, так как \( -1.5\pi < -1.33\pi < -3\pi \) — здесь ошибка в условии, должно быть \( [-3\pi; -3\pi/2] \) или \( [-3\pi/2; 3\pi/2] \), в оригинальном условии порядок отрезка не соблюден. Предположим, что отрезок \( [-3\pi; -3\pi/2] \).
• При \( n = -2 \): \( x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит отрезку.
• Для \( x = \pi + 2\pi k \):
• При \( k = -1 \): \( x = \pi - 2\pi = -\pi \). Этот корень не принадлежит отрезку (так как \( -3\pi < -1.5\pi \)).
• При \( k = -2 \): \( x = \pi - 4\pi = -3\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
10. Исходя из заданного отрезка \( \left[ -3\pi; -\frac{3\pi}{2} \right] \) (предполагая, что он был указан верно, а не \( [-3\pi; -3] \) или \( [-3\pi/2; -3\pi] \), что некорректно), проверим корни:
• \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
• При \( n = -1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \) \( \approx -1.33\pi \). Это значение не входит в отрезок \( [-3\pi; -1.5\pi] \).
• При \( n = -2 \): \( x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3} \) \( \approx -3.33\pi \). Это значение не входит в отрезок.
• \( x = \pi + 2\pi k \):
• При \( k = -1 \): \( x = \pi - 2\pi = -\pi \) \( \approx -1\pi \). Это значение не входит в отрезок.
• При \( k = -2 \): \( x = \pi - 4\pi = -3\pi \). Это значение принадлежит отрезку \( [-3\pi; -1.5\pi] \).
• \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):
• При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \) \( \approx -1.67\pi \). Это значение принадлежит отрезку \( [-3\pi; -1.5\pi] \).

Ответ: \( -3\pi \), \( -\frac{5\pi}{3} \).