Решите уравнение \(\sin 5t\cos 2t=\sin t\cos 6t\). Ответ укажите в виде десятичной дроби, деленной на \(\pi n\). Предварительно нужно объединить серии корней одним выражением.

Применим формулы произведения синуса на косинус:

\(\sin 5t\cos 2t=\frac{1}{2}(\sin 7t+\sin 3t)\),

\(\sin t\cos 6t=\frac{1}{2}(\sin 7t-\sin 5t)\).

Приравниваем выражения и сокращаем одинаковые слагаемые:

\(\sin 3t=-\sin 5t\), значит \(\sin 3t+\sin 5t=0\).

По формуле суммы синусов:

\(2\sin 4t\cos t=0\).

Отсюда \(\sin 4t=0\) или \(\cos t=0\). Первое даёт \(t=\frac{\pi n}{4}\), где \(n\in\mathbb{Z}\). Корни из второго уравнения входят в эту серию, поэтому объединяем серии:

Ответ: \(t=0.25\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\).