1) Решите уравнение sin 2x = - 2 cos x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

Решение:

1) Решим уравнение sin 2x = -2 cos x.

Используем формулу синуса двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x.

Тогда уравнение примет вид:

2 sin x cos x = -2 cos x

Перенесем все в одну сторону:

2 sin x cos x + 2 cos x = 0

Вынесем общий множитель 2 cos x за скобки:

2 cos x (sin x + 1) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

cos x = 0 или sin x + 1 = 0

Решаем первое уравнение:

cos x = 0

x = \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), n ∈ Z

Решаем второе уравнение:

sin x + 1 = 0

sin x = -1

x = -\(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), k ∈ Z

Заметим, что решения уравнений cos x = 0 и sin x = -1 можно объединить в одно решение, так как при k = n + 1 получаем:

-\(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\) = -\(\frac{\pi}{2} + 2\pi (n + 1)\) = -\(\frac{\pi}{2} + 2\pi n + 2\pi\) = \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n\)

То есть, x = \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), n ∈ Z охватывает все решения обоих уравнений.

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку [-\(\frac{7\pi}{2}\); -2\(\pi\)].

Подставим различные значения n, чтобы найти корни, принадлежащие заданному отрезку.

x = \(\frac{\pi}{2} + \pi n\)

• n = -4: x = \(\frac{\pi}{2} - 4\pi\) = -\(\frac{7\pi}{2}\)
• n = -3: x = \(\frac{\pi}{2} - 3\pi\) = -\(\frac{5\pi}{2}\)
• n = -2: x = \(\frac{\pi}{2} - 2\pi\) = -\(\frac{3\pi}{2}\)

Проверим, какие из этих корней принадлежат отрезку [-\(\frac{7\pi}{2}\); -2\(\pi\)] = [-3.5\(\pi\); -2\(\pi\)] ≈ [-10.99; -6.28].

• -\(\frac{7\pi}{2}\) = -3.5\(\pi\) принадлежит отрезку.
• -\(\frac{5\pi}{2}\) = -2.5\(\pi\) не принадлежит отрезку.
• -\(\frac{3\pi}{2}\) = -1.5\(\pi\) не принадлежит отрезку.

Также необходимо проверить, есть ли еще корни:

• n = -1: x = \(\frac{\pi}{2} - \pi\) = -\(\frac{\pi}{2}\)

x = -\(\frac{\pi}{2}\) = -0.5\(\pi\) не принадлежит отрезку.

Таким образом, единственный корень, принадлежащий заданному отрезку, это x = -\(\frac{7\pi}{2}\).

Ответ: x = -\(\frac{7\pi}{2}\)