Решите уравнение sin(x+π/3) = 1/2. В ответ укажите количество корней, принадлежащих промежутку [3π/2; 4π].

Дано:

• Уравнение: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \]
• Промежуток: \[ \left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right] \]

Решение:

1. Общее решение уравнения:

   Пусть $$y = x + \frac{\pi}{3}$$. Тогда уравнение примет вид:

   \[ \sin(y) = \frac{1}{2} \]

   Основные значения $$y$$, при которых синус равен $$\frac{1}{2}$$, это:

   \[ y_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

   и

   \[ y_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]

   где $$k$$ — любое целое число.

2. Подставляем обратно $$x + \frac{\pi}{3}$$ вместо $$y$$:
• Для первого случая:
\[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

Выразим $$x$$:

\[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ x = \frac{\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k \]

\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

• Для второго случая:
\[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]

Выразим $$x$$:

\[ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ x = \frac{5\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k \]

\[ x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k \]

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \]

• Находим корни на промежутке $$\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$$:
• Рассмотрим первую серию корней: $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$$.
• При $$k=1$$: $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$$. Это значение находится вне промежутка, так как $$\frac{11\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$$ ($$\frac{11}{6} < \frac{9}{6}$$ — ложно, но $$11/6 ≈ 1.83$$ и $$3/2 = 1.5$$, значит $$11π/6 > 3π/2$$). Да, $$11π/6$$ находится на промежутке.
• При $$k=2$$: $$x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$$. Проверим: $$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$$ и $$4\pi = \frac{24\pi}{6}$$. Так как $$9\pi/6 \le 23\pi/6 \le 24\pi/6$$, то $$x = \frac{23\pi}{6}$$ является корнем на промежутке.
• Рассмотрим вторую серию корней: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$.
• При $$k=1$$: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$$. Проверим: $$\frac{3\pi}{2} \le \frac{5\pi}{2} \le 4\pi$$. Так как $$3/2 \le 5/2 \le 4$$ (или $$9/6 \le 15/6 \le 24/6$$), то $$x = \frac{5\pi}{2}$$ является корнем на промежутке.
• При $$k=2$$: $$x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{9\pi}{2}$$. Это значение больше $$4\pi$$, так как $$9/2 = 4.5 > 4$$.
• Итого, на промежутке $$\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$$ находятся следующие корни: $$x_1 = \frac{11\pi}{6}$$, $$x_2 = \frac{23\pi}{6}$$, $$x_3 = \frac{5\pi}{2}$$.

Ответ: 3