Решите уравнение sin (x - π/3) = cos (2x - 2π/3) (выучить все тригонометрические формулы в предыдущем занятии)

Решение:

Переведём косинус в синус, используя формулу \( \cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \).

\( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (2x - \frac{2\pi}{3})) \)

\( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x + \frac{2\pi}{3}) \)

\( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{3\pi + 4\pi}{6} - 2x) \)

\( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{7\pi}{6} - 2x) \)

Теперь решаем два случая:

1. Первый случай: \( x - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} - 2x + 2\pi k \)

• \( 3x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
• \( 3x = \frac{7\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( 3x = \frac{9\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( 3x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
• \( x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3} \)

1. Второй случай: \( x - \frac{\pi}{3} = \pi - (\frac{7\pi}{6} - 2x) + 2\pi k \)

• \( x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{7\pi}{6} + 2x + 2\pi k \)
• \( -x = \pi - \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
• \( -x = \frac{6\pi - 7\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( -x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi k \)
• \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) (где \( n = -k \))

Объединяя оба случая, получаем:

\( x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3} \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \).

Сравниваем с вариантами ответов. Вариант d совпадает с нашими решениями.

Ответ: d. x = \( \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3} \), x = \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \).