Решите уравнение: sin2x=2sinx-cosx+1.

Решение:

• Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin(2x) = 2sinxcosx.
• Подставим в уравнение:
• \[ 2\sin x \cos x = 2\sin x - \cos x + 1 \]
• Перенесем все члены в одну сторону:
• \[ 2\sin x \cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0 \]
• Сгруппируем члены:
• \[ 2\sin x(\cos x - 1) + (\cos x - 1) = 0 \]
• Вынесем общий множитель (cos x - 1):
• \[ (2\sin x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]
• Приравняем каждый множитель к нулю:
• Случай 1:
• \[ \cos x - 1 = 0 \]
• \[ \cos x = 1 \]
• \[ x = 2\pi n \], где $$n \in \mathbb{Z}$$
• Случай 2:
• \[ 2\sin x + 1 = 0 \]
• \[ \sin x = -\frac{1}{2} \]
• \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \] или $$x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = 2\pi n$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$, $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.