1) Решите уравнение 2sin2x-3√2 sin x + 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{5π}{2}; 4π].

Решение:

1) Решим уравнение: \(2\sin^2 x - 3\sqrt{2} \sin x + 2 = 0\).

Пусть \(t = \sin x\), тогда уравнение примет вид: \(2t^2 - 3\sqrt{2} t + 2 = 0\).

Вычислим дискриминант:

\[D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 18 - 16 = 2\]

Найдем корни уравнения:

\[t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}\]\[t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Тогда:

a) \(\sin x = \sqrt{2}\) - уравнение не имеет решений, так как \(|\sin x| \le 1\).

б) \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку \([\frac{5\pi}{2}; 4\pi]\).

а) \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\)

Пусть \(k = 1\), тогда \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} = \frac{22.5\pi}{10} = 2.25\pi\) — не входит в отрезок \([\frac{5\pi}{2}; 4\pi]\).

Пусть \(k = 2\), тогда \(x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} = \frac{17\pi}{4} = \frac{42.5\pi}{10} = 4.25\pi\) — не входит в отрезок \([\frac{5\pi}{2}; 4\pi]\).

б) \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\)

Пусть \(k = 1\), тогда \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} = \frac{27.5\pi}{10} = 2.75\pi\) — не входит в отрезок \([\frac{5\pi}{2}; 4\pi]\).

Пусть \(k = 2\), тогда \(x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4} = \frac{19\pi}{4} = \frac{47.5\pi}{10} = 4.75\pi\) — не входит в отрезок \([\frac{5\pi}{2}; 4\pi]\).

Проверим значение \(x = \frac{11\pi}{4}\) и \(x = \frac{9\pi}{4}\) более подробно, так как они ближе всего к границам отрезка.

Минимальная граница \(\frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4} = 2.5\pi\), а максимальная граница \(4\pi = \frac{16\pi}{4}\).

Значит, корень \(x = \frac{11\pi}{4}\) входит в указанный отрезок, а корень \(x = \frac{9\pi}{4}\) не входит в указанный отрезок.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(x = \frac{11\pi}{4}\), где \(k \in \mathbb{Z}\)