1) Решите уравнение 2sinx+√3sinx-3=0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-6; -2]

1) Решим уравнение:

Уравнение имеет вид: 2sin²x + √3sinx - 3 = 0.

Введём замену t = sinx, тогда уравнение примет вид:

2t² + √3t - 3 = 0

• Вычислим дискриминант:

D = (√3)² - 4 * 2 * (-3) = 3 + 24 = 27

• Найдем корни квадратного уравнения:

t1 = (-√3 + √27) / (2 * 2) = (-√3 + 3√3) / 4 = 2√3 / 4 = √3 / 2

t2 = (-√3 - √27) / (2 * 2) = (-√3 - 3√3) / 4 = -4√3 / 4 = -√3

Теперь вернёмся к замене sinx = t:

• Случай 1: sinx = √3 / 2

x = (-1)^k * arcsin(√3 / 2) + πk, где k ∈ Z

x = (-1)^k * π/3 + πk, где k ∈ Z

• Случай 2: sinx = -√3

Так как |sinx| ≤ 1, то уравнение sinx = -√3 не имеет решений.

Таким образом, общее решение уравнения: x = (-1)^k * π/3 + πk, где k ∈ Z

2) Отберём корни, принадлежащие отрезку [-6; -2]:

Нужно найти значения k, при которых -6 ≤ (-1)^k * π/3 + πk ≤ -2.

• Рассмотрим случай k = -1:

x = (-1)^-1 * π/3 + π(-1) = -π/3 - π = -4π/3 ≈ -4.19

-6 ≤ -4π/3 ≤ -2 (это верно, так как -6 ≤ -4.19 ≤ -2)

• Рассмотрим случай k = -2:

x = (-1)^-2 * π/3 + π(-2) = π/3 - 2π = -5π/3 ≈ -5.24

-6 ≤ -5π/3 ≤ -2 (это верно, так как -6 ≤ -5.24 ≤ -2)

• Рассмотрим случай k = -3:

x = (-1)^-3 * π/3 + π(-3) = -π/3 - 3π = -10π/3 ≈ -10.47

-6 ≤ -10π/3 ≤ -2 (это неверно, так как -10.47 < -6)

• Рассмотрим случай k = 0:

x = (-1)⁰ * π/3 + π(0) = π/3 ≈ 1.05

-6 ≤ π/3 ≤ -2 (это неверно, так как 1.05 > -2)

• Рассмотрим случай k = -4:

x = (-1)^-4 * π/3 + π(-4) = π/3 - 4π = -11π/3 ≈ -11.52

-6 ≤ -11π/3 ≤ -2 (это неверно, так как -11.52 < -6)

• Рассмотрим случай k = 1:

x = (-1)¹ * π/3 + π(1) = -π/3 + π = 2π/3 ≈ 2.09

-6 ≤ 2π/3 ≤ -2 (это неверно, так как 2.09 > -2)

Таким образом, найденные корни, принадлежащие отрезку [-6; -2]:

x1 = -4π/3

x2 = -5π/3

Ответ: x1 = -4π/3, x2 = -5π/3