Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. Решите уравнение: 1) sin4x = -√2/2; 2) cos(x/2 - π/8) = 0; 3) cos3x + cos5x = 0. 2. Решите неравенство: 1) cos5x < 1/2; 2) tg(5x - π/3) >= -√3/3. 3. Решите уравнение: 1) 3cos²x + 7sinx - 5 = 0; 2) 2sin²x + 1,5sin2x – 3cos²x = 1; 3) sin8x + sin10x + cosx = 0. 4. Решите уравнение sin2x + √3 cos2x = 2cos6x.
Ответ:
Ответ: Решения уравнений и неравенств представлены ниже.
1. Решите уравнение:
1) sin4x = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\);
Шаг 1: Находим общее решение для sin(t) = a:
\[t = (-1)^n arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]В нашем случае t = 4x и a = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\). arcsin(-\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)) = -\(\frac{\pi}{4}\)
Шаг 2: Подставляем значения и получаем:
\[4x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]Шаг 3: Делим обе части на 4:
\[x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{16}\right) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}\]Ответ:
\[x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{16}\right) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}\]
2) cos(\(x/2 - \frac{\pi}{8}\)) = 0;
Шаг 1: Находим общее решение для cos(t) = 0:
\[t = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]В нашем случае t = \(x/2 - \frac{\pi}{8}\).
Шаг 2: Подставляем значение t:
\[\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]Шаг 3: Решаем относительно x:
\[\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} + \pi n\] \[\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + \pi n\] \[\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{8} + \pi n\] \[x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]Ответ:
\[x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]
3) cos3x + cos5x = 0.
Шаг 1: Преобразуем сумму косинусов в произведение:
\[cos(a) + cos(b) = 2 cos\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]В нашем случае a = 3x и b = 5x:
\[cos3x + cos5x = 2 cos\left(\frac{3x+5x}{2}\right) cos\left(\frac{3x-5x}{2}\right) = 2 cos(4x) cos(-x) = 2 cos(4x) cos(x)\]Шаг 2: Получаем уравнение:
\[2 cos(4x) cos(x) = 0\]Следовательно, либо cos(4x) = 0, либо cos(x) = 0.
Шаг 3: Решаем cos(4x) = 0:
\[4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}\]Шаг 4: Решаем cos(x) = 0:
\[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]Ответ:
\[x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}\] или\[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]
2. Решите неравенство:
1) cos5x < \(\frac{1}{2}\);
Шаг 1: Находим значения, при которых cos5x = \(\frac{1}{2}\):
\[5x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}\]Шаг 2: Определяем интервалы, где cos5x < \(\frac{1}{2}\):
\[\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 5x < 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 5x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]Шаг 3: Делим на 5:
\[\frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}\]Ответ:
\[\frac{\pi}{15} + \frac{2\pi n}{5} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}\]
2) tg(\(5x - \frac{\pi}{3}\)) >= -\(\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Шаг 1: Находим значения, при которых tg(\(5x - \frac{\pi}{3}\)) = -\(\frac{\sqrt{3}}{3}\):
\[5x - \frac{\pi}{3} = arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[5x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[5x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[5x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}\]Шаг 2: Определяем интервалы, где tg(\(5x - \frac{\pi}{3}\)) >= -\(\frac{\sqrt{3}}{3}\):
\[-\frac{\pi}{2} + \pi n < 5x - \frac{\pi}{3} <= -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n < 5x <= -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[-\frac{\pi}{6} + \pi n < 5x <= \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]Шаг 3: Делим на 5:
\[-\frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5} < x <= \frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}\]Но нужно учесть, что тангенс не определен в точках \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), поэтому:
\[5x - \frac{\pi}{3}eq \frac{\pi}{2} + \pi n\]\[5x
eq \frac{5\pi}{6} + \pi n\]\[x
eq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{5}\]
Ответ:
\[-\frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5} < x <= \frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}, x
eq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}\]
3. Решите уравнение:
1) 3cos²x + 7sinx - 5 = 0;
Шаг 1: Заменим cos²x на 1 - sin²x:
\[3(1 - sin^2x) + 7sinx - 5 = 0\] \[3 - 3sin^2x + 7sinx - 5 = 0\] \[-3sin^2x + 7sinx - 2 = 0\] \[3sin^2x - 7sinx + 2 = 0\]Шаг 2: Решаем квадратное уравнение относительно sinx. Пусть t = sinx:
\[3t^2 - 7t + 2 = 0\]Дискриминант: D = (-7)² - 4 * 3 * 2 = 49 - 24 = 25
\[t_1 = \frac{7 + 5}{6} = 2\] \[t_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3}\]Шаг 3: Возвращаемся к sinx:
sinx = 2 (невозможно, так как |sinx| <= 1)
sinx = \(\frac{1}{3}\)
Шаг 4: Находим x:
\[x = (-1)^n arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]Ответ:
\[x = (-1)^n arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]
2) 2sin²x + 1,5sin2x – 3cos²x = 1;
Шаг 1: Используем формулы sin2x = 2sinxcosx и sin²x + cos²x = 1:
\[2sin^2x + 1.5(2sinxcosx) - 3cos^2x = 1\] \[2sin^2x + 3sinxcosx - 3cos^2x = sin^2x + cos^2x\] \[sin^2x + 3sinxcosx - 4cos^2x = 0\]Шаг 2: Если cosx = 0, то sinx = \(\pm 1\), что не удовлетворяет уравнению.
Делим обе части на cos²x:
\[\frac{sin^2x}{cos^2x} + 3\frac{sinx}{cosx} - 4 = 0\] \[tan^2x + 3tanx - 4 = 0\]Шаг 3: Решаем квадратное уравнение относительно tanx. Пусть t = tanx:
\[t^2 + 3t - 4 = 0\]По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = -4
Шаг 4: Возвращаемся к tanx:
tanx = 1
\[x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]tanx = -4
\[x = arctan(-4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = -arctan(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]Ответ:
\[x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] или\[x = -arctan(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]
3) sin8x + sin10x + cosx = 0.
Шаг 1: Преобразуем сумму синусов в произведение:
\[sin(a) + sin(b) = 2 sin\left(\frac{a+b}{2}\right) cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]В нашем случае a = 8x и b = 10x:
\[sin8x + sin10x = 2 sin\left(\frac{8x+10x}{2}\right) cos\left(\frac{8x-10x}{2}\right) = 2 sin(9x) cos(-x) = 2 sin(9x) cos(x)\]Шаг 2: Получаем уравнение:
\[2 sin(9x) cos(x) + cosx = 0\] \[cos(x) (2sin(9x) + 1) = 0\]Следовательно, либо cos(x) = 0, либо 2sin(9x) + 1 = 0.
Шаг 3: Решаем cos(x) = 0:
\[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]Шаг 4: Решаем 2sin(9x) + 1 = 0:
\[sin(9x) = -\frac{1}{2}\] \[9x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{54}\right) + \frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z}\]Ответ:
\[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] или\[x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{54}\right) + \frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z}\]
4. Решите уравнение sin2x + \(\sqrt{3}\) cos2x = 2cos6x.
Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения к виду Rsin(2x + φ):
R = \(\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
sin(φ) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), cos(φ) = \(\frac{1}{2}\), следовательно, φ = \(\frac{\pi}{3}\)
Тогда уравнение примет вид:
\[2sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 2cos6x\] \[sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = cos6x\]Шаг 2: Преобразуем cos6x в sin(\(\frac{\pi}{2}\) - 6x):
\[sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = sin\left(\frac{\pi}{2} - 6x\right)\]Шаг 3: Решаем уравнение sin(a) = sin(b):
\[a = b + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] или\[a = \pi - b + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]В нашем случае a = 2x + \(\frac{\pi}{3}\) и b = \(\frac{\pi}{2}\) - 6x:
Случай 1:
\[2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 6x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n\] \[8x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\] \[x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}\]Случай 2:
\[2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - 6x\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{2} + 6x + 2\pi n\] \[2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 6x + 2\pi n\] \[-4x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n\] \[-4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\] \[x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\]Ответ:
\[x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}\] или\[x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\]
Ответ: Решения уравнений и неравенств представлены выше.
Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.
Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей
